2018년도 9월 평가원 가형 21번 [대홍쌤]

함수 f(x)가 sin 함수를 기반으로 n의 값에 따라 범위가 정해지고, 그 그래프 개형도 달라지는 조건입니다. 특히 그래프의 개형은 n이 1 커질 때 마다 x의 계수가 2배씩 늘어나므로, 주기는 1/2로 짧아지게 됩니다. 그래프의 개형이 필요할 것으로 보이는 문제입니다만, 일단 뒷부분까지 다 읽어보고 전체적인 흐름을 좀 이해해본 후 풀이를 시작해봅시다.
계속 보면, 어떤 α 에 대하여 정적분 기호가 포함된 등식을 만족시키는 t의 값이 103개라고 합니다. 만족시켜야 할 조건이 등식이기 때문에, 실근의 개수 문제라는 것을 떠올려볼 수 있겠고, 미분하기 좋게 생긴 정적분 형태의 등식이라는 점도 살펴볼만 해 보입니다. 마지막에 묻고 있는 로그 값은 α만 구하면 쉽게얻어낼 수 있을 것으로 짐작 되구요.

자, 그럼 이제 본격적인 풀이를 위해서 그래프의 개형을 알아봅시다.

f(x) 는 기본적인 sin 함수를 가로방향으로 2ⁿπ배 만큼 축소한 그래프입니다. 따라서 그 주기가 1/2ⁿπ 만큼으로 줄어들게 되죠. (같은 이유로 y=sin(ax+b)의 주기가 2π/|a|임을 다들 알고 있을 것입니다.)  a_n~a_n+1을 n번째 구간이라고 칭하면, n번째 구간은 주기가 2π/2ⁿπ = 2^-n+1이 됩니다. n이 1씩 늘어날 때 마다 주기가 1/2씩 줄어드는 것을 알 수 있겠습니다.
한편, n번째 구간은 a_n = (2 - 1/(2^n-2))에서부터 a_n+1 = (2 - 1/(2^n-21))까지의 구간이므로 그 길이는
a_n+1-a_n=2^-n+1이 됩니다(단, n≥2). 위에서와 마찬가지로 구간의 길이도 n이 1씩 증가할 때마다 절반으로 줄어드는 것을 알 수 있네요.
어라? 그런데 자세히 보니  바로 위에서 구했던 이 함수의 n번째 구간(n≥2)에서의 주기와 구간의 길이는 정확히 일치하는 군요! 이 말은 즉, 두번째 구간 부터 각 구간별로 딱 한 주기만큼의 그래프가 나타나게 된다는 뜻입니다.

n=1부터 차근차근 한 구간씩 그려보겠습니다.
n=1일 때에는 주기는 규칙대로 1이지만, a₁은 n≥2일 때의 a_n과 따로 정의된 관계로 직접 구해보면, a₂=1이어서 구간의 길이는 2가 됩니다. 이 구간만 예외로 주기의 두배만큼이 그래프에 나타나고, 구간의양 끝부분의 함숫값은 대입을 통해 알아보면 각각 0입니다. 즉, 첫 구간의 f의 그래프는 다음과 같습니다.

다음 구간은 구간의 길이와 주기가 둘다 1/2인 그래프입니다. 이어서 그려보면 다음과 같습니다.

다음 구간은 구간의 길이와 주기가 모두 1/4인 그래프이고, 또 다음은 1/8, 1/16, ... 등으로 이어집니다. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 은 2에 수렴하므로 x<2에 대해서 한없이 오르락내리락 하는 다음과 같은 그래프가 만들어지게 되겠네요. (비율에 맞게 그리느라 다음과 같이 나왔습니다만, 실제로 문제 풀때는 저렇게까지 비율을 맞추어 그릴필요는 없습니다.)

그래프의 개형은 파악이 되었으니, 이번에는 실제로 확인해야할 방정식을 살펴보겠습니다.
앞서서도 언급한바와 같이 주어진 등식을 만족시키는 t의 "값"이 아니라 "개수"에 대한 얘기를 하고 있다는 특징이 보입니다. 실근의 개수 문제는 대부분 그래프의 개형을 이용하여 교점의 개수를 구하는 문제라는 사실을 꼭 기억해두세요! 수능이건 내신이건 정말 시도때도 없이 많이 출제되는 유형이니까요.

간단하고도 당연한 내용이지만 한번 짚고 넘어가겠습니다.

위의 내용을 이용하기 위해서 α에서 t까지의 f(x)의 정적분을 g(t)라 하겠습니다.(이 정적분의 값은 t에 따라 변하는 값입니다.) 우리의 목표는 y=g(t)와 t축과의 교점(0<t<2)이 103개가 되도록 하는 것입니다. 교점의 개수는 y=g(t)의 개형과 관련 있겠네요. 그래프의 개형하면 뭐다? 바로 미분입니다. 우리는 미분을 통해서 그래프의 증가, 감소를 확인할 수 있고, 이를 통해 극대, 극소도 찾고 그래프의 개형도 나타낼 수 있죠. (물론 굳이 미분할 필요 없이 그릴 수 있는 간단한 그래프는 그냥 그리면 됩니다.)
마침 g(t)는 위끝이 t인 정적분 형태의 식이므로 t에 대한 미분은 바로 f(t)가 됩니다. 아까 그려둔 f(x)의 그래프에서 x축 대신에 t라고만 바꾸면 f(t)가 되겠군요. 다시 그리진 않을게요. 

f(t)=g'(t)의 값이 양일 때는 g(t)는 증가, 음일 때에는 감소할 것입니다. 첫번째 구간 [a₁, a₂]에서는
-1 ↗ -1/2 ↘ 0 ↗ 1/2 ↘ 1 형태로 극대점이 2개 나타나게 되겠고, 두번째 구간은 1 ↗ 5/4 ↘ 3/2, 세번째 구간은 3/2 ↗ 13/8 ↘ 7/4, ... 등으로 두번째 구간 이후부터는 각 구간에서 극대점이 하나 존재합니다. 또한, 각 구간의 양 끝은 모두 극소점이 됩니다.

y=g(t)의 증가, 감소에 대해서도 파악이 되었으니 이제는 각 극대, 극소에서의 함숫값을 구하면 y=g(t)의 확실한 개형을 얻을 수 있겠습니다. 먼저, 기준이 될 수 있는 함숫값은 g(α)입니다. t=α를 대입하면 위끝과 아래끝이 같으므로 g(α)=0입니다.

(위끝이 t인 정적분 형태의 식에 대한 풀이에서 시도할 것은 두 가지 "① 미분, ② 정적분을 특정값이 되게 하기(주로 위끝 아래끝을 같게하여 0을 만들기)"입니다. 폭넓게 쓰이는 풀이법이니 꼭 기억해둡시다. )

다만, g(α)는 알 수 있으되, 정작 그 α가 -1에서 0 사이에 있다는 것 외에는 정확한 위치를 모르겠네요. 게다가 우리가 원래 구하고자 하는 값도 α죠. 이 값을 바로 활용하기 보다는 계산상 수월한 g(-1)을 기준으로 극댓값, 극솟값을 구하기 위해 g(-1)=k라고 합시다.

여기서 나름 유용한 풀이법이 등장하는데요. 도함수의 부호를 통해 원시함수의 증감을 확인할 수 있을 뿐만 아니라, 얼마나 증감을 했는지도 알 수 있는데, 도함수를 다시 정적분하면 됩니다. 이는 속도와 미분 단원에서 위치를 t에 대해 미분한 것이 속도인데, 속도를 다시 t에 대해 적분하면 위치를 알 수 있음을 떠올려보면 쉽게 이해할 수 있을 듯 합니다.(정확히는 속도를 t=t₀에서 t₁까지 정적분을 하면 t=t₀에서 t₁까지의 위치의 변화량을 알 수 있고, 속도를 t에 대해 부정적분하면 임의의 t에 대한 위치를 알 수 있습니다.)

같은 방법으로 g(0)도 구해보겠습니다. -1에서 -1/2까지와 -1/2에서 0까지의 정적분은 절댓값이 같고 부호는 반대임을 그래프를 통해 바로 알 수 있으므로 다음과 같습니다. (또는 -1에서 0까지의 정적분이 0임을 이용해도 됩니다.)

g(1/2)와 g(1)도 마찬가지 방법으로 구할 수 있고. 여기까지에 대해 g(t)에 대하여 다음의 증감표를 만들 수 있습니다.

이제 두번째 구간으로 가봅시다. 5/4일 때 극대임은 이미 알고 있고, 그때의 값은 마찬가지로 정적분을 통해서 알 수 있습니다. 1~5/4의 정적분은 직접 계산할 필요 없이 0~1/2의 정적분값의 절반임을 알 수 있습니다.(가로방향으로 1/2만큼 축소한 그래프이기 때문) 따라서 g(5/4)=k+1/(2π)이고, g(3/2)=k입니다. 다음 구간에서도 정적분은 또 절반이 되고, 극댓값은 k+1/(4π)일 것입니다. 이 규칙은 계속 일정하게 적용되므로 극댓값에서 k를 뺀 값은 공비가 1/2인 등비수열이 되겠네요. 즉, 임의의 n번째 구간(a_n~a_n+1)은 양 끝의 함숫값이 k, 가운데의 극댓값은 k+1/(2^n-1π)입니다. 이로써 그래프의 개형이 모두 파악이 되었으니 이제 직접 그려보면 다음과 같습니다.

k의 값을 모르기 때문에 t축은 아직 그리지 않은 채의 그래프입니다. 이제 t축이 어디에 놓여야 문제의 조건대로 0<t<2에서 103개의 실근이 존재할지 생각해봅시다. t축은 가로방향으로 그려져야 하고, 각 구간은 서로 같은 양 끝값과 하나의 극대를 가지므로,(첫 번째 구간도 양수 t에 대해서는 극대는 하나만 존재합니다.) 각 구간에서의 최대 교점의 개수는 2개입니다. 따라서 총 103개의 교점을 가지기 위해서는, 다음 그림과 같이 51번째 구간까지 각각 2개의 교점을 가지고, 52번째 구간에서는 단 한개의 교점을 가질 때, 즉, 52번째 구간의 극댓값이 0이 되어 t축과 접할 경우겠군요. 위에서 n번째 구간의 극댓값은 k+1/(2^n-1π)임을 구해두었으니, 52번째 구간의 극댓값 k+1/(2⁵¹π)=0입니다.

이제 마지막으로 α를 구할 차례입니다. g(α)=0이고, -1<α<0이므로 위 그래프에서 α=α₁ or α₂일 것입니다. 둘 중 어느쪽인지는 나중에 생각하기로 하고 g(α)=0=k+1/(2⁵¹π)=g(-1)+1/(2⁵¹π)임을 이용하여 해결해 봅시다.

(위의 식에 따르면 α가 α₁인지 α₂인지는 상관이 없게 되는군요.)

수학의 정도(正道) - 대홍쌤 블로그 에서 허락을 받아 올리는 해설입니다.