문제 전체를 먼저 이해해 봅시다. 두 삼차함수 f와 g의 곱이 일차인수 6개의 곱으로 표현되어 있으므로, g를 x의 식으로 표현하면, 최고차항의 계수인 3에 "적절히" 고른 일차인수 세 개를 곱한 모양이 됨을 쉽게 예상할 수 있습니다. 반대로 f는 최고차항의 계수가 1/3이 되면서 남은 인수 세 개를 곱한 식이겠구요.

자, 그럼 앞에서 말한 "적절히"가 대체 무엇인지만 알아내면 되겠습니다. 이를 위해 문제에 주어진 조건은 딱 하나, "g는 x=2에서 극댓값을 갖는다"입니다. 이 조건을 활용하기 위해서는 다음의 분류에 대하여 이해하고 있어야 합니다.

예를 들어 g(x)가 x-2라는 인수를 가질 때, y=g(x)의 그래프는 x축과 (2,0)에서 만난다는 사실은 틀림이 없습니다. 이때, x-2의 몇 제곱까지가 g(x)의 인수인지에 따라서 x축과 만날 때의 형태가 달라지게 되는데요. 이를 정리하면 다음과 같습니다.

첫번째 그래프는 x축과 접하지 않고 만나는 경우에 해당되고, 두번째, 세번째 그래프는 접하면서 만나는 경우에 해당됩니다. 두번째, 세번째의 차이는 짝수제곱일 때는 접하되 x축을 통과하지 않고, 홀수제곱일 때에는 접하면서 x축을 통과하는 그래프가 나타난다는 점입니다. 
(위의 그림은 예시로서, 두번째 그래프가 x=2에서 반드시 극대가 된다거나, 첫번째, 세번째 그래프가 반드시 증가한다거나 하는 것은 아닙니다.)


다시 문제로 돌아와서, g가 x-2를 인수로 가지는 경우를 생각해봅시다. 이때, x-2를 한개만 가진다면, 위의 첫번째 그래프 처럼 x축과 x=2에서 만나면서 통과해버리기 때문에 x=2에서 극값을 가질 수는 없게 됩니다. 따라서 g는 x-2의 제곱을 인수로 갖거나 아예 인수로 갖지 않아야 한다는 뜻입니다. x-2를 인수로 갖지 않을 때는 x-1과 x-3만을 인수로 가져야하고, x-2를 인수로 가질 때는 x-2의 제곱 이외에 x-1 또는 x-3 중 하나를 함께 인수로 가지면 됩니다. 

여기까지를 종합해보면 g(x)의 형태는 다음 넷 중 하나입니다.

이 네 함수들 중 x=2에서 극대인 것을 골라주면 g를 찾을 수 있게 됩니다.
먼저, 넷 중에서 g1과 g2는 미분을 해보지 않아도 개형을 쉽게 알 수 있는데, x=2에서 x축에 접하는 것은 확실하니 각각 그려보면,

따라서 g1은 탈락입니다.

한편, g3이나 g4는 미분해보면 x=2일 때 미분계수가 0이 아니어서 또한 조건에 맞지 않음을 알수 있습니다.(계산은 생략)

따라서, g로 가능한 유일한 함수는 g2이고,