2014년도 수능 (B형) 30번 [진산서당]

2014학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

[풀이 및 해설]

이차함수 f(x) 를 위와 같이 ax^2 + bx + c 로 놓았다면 조건 (가)에 의하여 여기까지는 일단 일사천리로 옵니다.

그리고 1과 4가 보라색 이차식이 0이 되는 이차방정식의 해이고, 이차함수의 그래프를 생각하면, 1과 4의 좌우에서 각각 g''(x) 의 부호가 바뀌고 있으므로 변곡점이 명백합니다.

그다음,

(i), (ii) 식을 한 문자로 나타내어서 파란색 이차식에 대입하여 g'(x) 의 부호를 살핍니다.

이차항의 계수 a 의 부호에 의해 결정나겠지만, 함수 g(x) 가 극대점 1개, 극소점 1개를 가지는 것은 명백하군요.

(i), (ii) 식을 한 문자로 나타낸 결과를 주황색 이차식에 대입하면 함수 g(x) 의 x 절편을 얻을 수 있습니다.

이상에서 함수 g(x) 와 그 그래프의 개형은 아래와 같습니다.

이제, 조건 (나)를 따질 차례입니다.

접선의 개수가 3개가 되는 k 의 범위를 가지고 이차항의 계수 a 의 값을 결정해야 문제 g(-2) × g(4) 의 값을 얻을 수 있습니다. a 가 음수일 때는, -1 < k < 0 의 범위에 있는 점 (0, k) 에서 3개의 접선을 긋는 것은 불가능해 보입니다.

곡선 위의 점 (t, g(t)) 에서의 접선의 방정식이 점 (0, k) 를 지나므로, 아래와 같이 접선의 방정식을 작성하여 (0, k) 를 대입하여 파란색 방정식을 얻습니다.

이 방정식의 서로 다른 실수해가 3개가 되는 k 의 범위가 -1 < k < 0 이 되도록 a 의 값을 정하기 위하여, 아래와 같이 놓고, 곡선 y = h(t) 와 직선 y = k 가 -1 < k < 0 범위에서 서로 다른 세 점에서 만나게 해주면 될 것입니다.

곡선 y = h(t) 의 그래프를 그리기 위해서 또 미분을 해야 하나요? 어쨌든 미분해서 살펴 보도록 하죠...

아래 애니메이션에서 g(x) 와 h(t) 두 그래프를 비교하기 편하도록 함께 그렸습니다.

함수 h(t) 의 경우 이 극한과 x 절편 0(중근), 2만을 생각해도 그래프의 개형은 나오기 때문에 굳이 미분할 필요는 없습니다만, 아래 그림을 들여다 보시면 g(x) 가 변곡하는 자리에서 h(t) 는 극값을 가지며, g(x) 가 극값을 가지는 자리에서 h(t) 가 변곡하는 듯이 보입니다. 

이쯤에서 답을 구해 보면,

파란색 곡선 h(t) 의 그래프의 개형이 a < 0 일 때는 파란색 직선 y = k (k<0) 와 세 점에서 만나는 것이 불가능하지요.

파란색 곡선이 빨간색 점 (1, -1)을 지나고, 이 점이 극소점이어야만, 서로 다른 세 점에서 만나는 k 의 범위가 -1 < k < 0 이 되겠군요... 그렇다면 미분을 해봐야 확실합니다.

(오답률 85%)

이상입니다.

아래는 덧붙이는 글... 참조하십시오.

가령, (0, -1)에서 곡선 g(x) 에 그은 접선이 변곡점 (1, 0)을 지날 때의 a 값을 구해 보면,

저어기 앞쪽 접선의 방정식에서 k = -1, t = 1 일 때의 a 값이지요...  

g'(x) 식에서 (1, 0)에서 접선의 기울기가 1일 때의 a 값을 구해도 마찬가지입니다.

미분을 하고, 식을 변형하고, 증감표를 생각하고, 개형을 그리는 과정에서 깨우치는 실전적 감각이라 할 것입니다.

진산서당 블로그의 허락을 받아 올리는 해설입니다.