2018년도 수능 수리영역 나형 20번 [부팡]

오늘은 수능. 심심하니 문제를 한번 풀어보자.
가형은 일단 미뤄두고 간단한 나형먼저 쭉 보면, 1~19번은 나형이 늘 그렇듯이 쉽고 평이한 문제들이다. 심지어 무한등비급수도 복잡하지 않은 그림이 나왔으니 꿀빨면될듯. 20번 먼저 보자.

조건이 상당히 친절하게 주어졌다. 늘 그렇듯이 최고차항 계수는 1이고, 사차함수인데다가 (가),(나)조건을 보면 대략적인 f(x)의 개형을 바로 파악할 수 있다. 물론 f'에 대한 정보만 있으므로 실제 f의 y축방향 위치는 알수없다. 이건 ㄷ에서 이따가 생각해보자.
(나)조건에 의해 f(x)는 사차함수 개형 중 vv이런 모양이 아니라 아래와 같은 모양이 된다. x축의 좌표는 f'(2)>0인데서 대략적으로 적은것이고, y축방향으로 평행이동이 어떻게 됐는지는 알수없으니 y축은 그리지않았다.

ㅋㅋ그림 꼬라지 보소. 여튼 ㄱ을 보자. (0,2)에서 f'(x)=0의 실근의 개수를 물었다. 기울기가 0인 점의 수이다. 보다시피 1개이니까 참
ㄴ. ? 극대가 어딨음 거짓
ㄷ은 계산을 좀 해야겠다. f가 최고차항 계수가 1인 사차함수이므로, f'은 최고차항 계수가 4인 3차함수이다. 또한 x=0에서 중근을 가지고, 어디선가 다른 근을 하나 더 가진다. 이걸 그냥 a라고 하자.
그러면 f'(x)=4x^2(x-a)=4x^3-4ax^2
그런데 (가)조건에서 f'(2)=16이라고 했다. a값을 알아낼수가 있다.
16=32-16a니까 a=1
f'(x)=4x^3-4x^2이다. 또한 x=1에서 f'(x)가 극값을 가지므로 위에 저 그래프에서 극소이자 최소인 점의 x좌표가 1인것을 기억해두자.
부정적분을 하면 f(x)=x^4-(4/3)x^3+C
ㄷ에서 f(0)=0이니까 C=0이다. 이제 f의 최솟값은 f(1)=1-(4/3)=-1/3
ㄷ도 참이다. 고로 답은 3번 ㄱ,ㄷ

부팡 블로그의 허락을 받아 올린 해설입니다.