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기출 해설사전

2018년도 수능 수리영역 나형 21번 [부팡]

21번이다. 좀 귀찮아보인다.
X에서 X로의 함수 f(f(x))가 존재한다고 했다. x가 a혹은 b일 때, f(f(x))도 a혹은b라는 소리다.
그다음 g(a)=f(a), g(b)=f(b)란다.
g의 정의를 잘 보면 꽤나 명확한 힌트다.
f(f(a))=f(a)다. 즉 f(a)는 y=x와 y=f(x)의 교점의 x좌표이다. 이 교점은 총 4개가 있다. 이들을 크기 순으로 0, ㄱ, ㄴ, ㄷ이라 부르자.
경우의 수를 이제 다 쪼개보자.
(1) f(a)=0
이 때 a=0이다. 즉 X={0, b}이다. b는 0이 아니고, f(b)=b여야된다. (f(b)=0은 b=0뿐이라 안됨)
즉 f(b)=b인 점은 0을 제외하면 총 3개이다. 따라서 이 경우 가능한 X는 3개
(2) f(a)=ㄱ
이제 a=ㄱ인 경우와 아닌 경우를 또 따로 생각해야된다.
a=ㄱ이면, b는 f(b)=ㄱ이거나 f(b)=b이다. 그리고 a<b이다. 따라서 가능한 b는 총 1+2=3개
a≠ㄱ인 경우를 생각하자. 그러면 X={a, ㄱ}이 된다. 즉 b=ㄱ이다. 가능한 경우는 1개뿐이다.
따라서 2번경우는 총 4개
(3) f(a)=ㄴ
a=ㄴ이면 f(b)=ㄴ이거나 f(b)=b이다. 가능한 b는 총 0+1=1개
a≠ㄴ이면 X={a,ㄴ} 즉 b=ㄴ. 가능한 경우는 2개
3번경우는 총 3개
(4) f(a)=ㄷ
a=ㄷ이면 안된다. 경우의 수 0개
a≠ㄷ이면, X={a,ㄷ}={a,b} 가능한 경우의 수는 3개
4번경우 총 3개
따라서 전체 경우의 수는 3+4+3+3=13 즉 2번이다.


부팡 블로그의 허락을 받아 올린 해설입니다.

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