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[나형 30번 문제의 풀이 및 해설]
구간 [0, ∞)에서 정의된 함수 g(x) 는 다음 조건을 만족시킵니다.
물론 n 은 자연수일테지만, 두 번째 식에 n = 0 을 대입해보면 0 ≤ x ≤ 1 : g(x) = f(x) 가 되네요.
그렇다면, [0, 1), [1, 2), [2, 3), … 이런 식으로 구간 크기 1 간격으로 두 번째 식을 만족하는 함수 g(x) 의 그래프가 있다는 것인데,,, 이를 그릴 수 있을까요?
일단, 그리는 방향으로 밀고 나가 보겠습니다.
위 주황색 분자에 x - n 이 두 번 있는데에 착안하여, 주황색 식은 함수 f(x) - x 를 우측으로 n 만큼 평행이동한 것이다라고 생각해 봅니다. 물론 함수 f(x) - x 는 포물선 f(x) 를 아래로 x 만큼 내린 새로운 포물선이구요...
평행이동 후에 2^n 으로 나누고 다시 x 만큼 위로 올립니다.
그리고 아래에서 알 수 있듯이 함수 g(x) 는 연속함수입니다.
아래 애니메이션에서 빨간색이 함수 g(x) 의 그래프인데요,,, 그리는 과정을 설명해 보겠습니다.
먼저,
주황색은 함수 f(x) - x 를 오른쪽으로 n 만큼 평행이동한 그래프이구요...
그다음,,,
보라색은 오른쪽으로 평행이동하고 있는 주황색 함수를 이동할 때마다 2만큼 더 나누어준 그래프입니다.
따라서 x 절편은 n, n+1 로써 주황색과 똑같으며, 다만 폭이 2배씩 넓어 진다고 생각할 수 있겠습니다.
그 다음은 파란색인데요,,,
보라색 함수에 x 를 더했습니다. 이차항의 계수는 바뀌지 않으므로 포물선의 모양은 그대로 이지요. 그렇다면 보라색 포물선이 어디로 이동할 것인지만 생각하면 되겠는데, 아래 애니메이션에서 초록색 두 화살표를 보시면 금방 이해가 됩니다. 포물선의 꼭짓점, 축이 어디로 이동했는지에 대해서는 관심을 두지 마시고, 직선 y = x 와 만나는 점에 주목할 필요가 큽니다.
그래프의 합성 개념으로 두 x 절편 n, n+1 의 y 좌푯값 0에 x 를 더한다 생각하면, 파란색 포물선은 (n, n), (n+1, n+1) 에서 직선 y = x 와 만나게 됨을 알 수 있는 것이지요.
따라서
함수 y = g(x) 의 그래프는 아래 빨간색으로 이어 놓은 곡선이 됩니다.
직선 y = x 위에 구간 1 간격으로 포물선의 일부가 그려지는 것이지요.
주황색 포물선과 x 축으로 둘러 싸인 부분의 모양은 그대로 이지만, 보라색 포물선과 x 축으로 둘러 싸인 부분은 점차 서로 겹치면서 넓이는 작아 지겠고, 이것은 파란색 포물선과 직선 y = x 가 점차 가까와 지는 것으로 이어집니다.
다음, 함수 h(x) 에 대하여
k 는 6이상의 자연수이겠고요,,, 함수 2x - g(x) 의 그래프에 대하여 먼저 살펴 보아야 겠습니다.
위 애니메이션에서 보라색 포물선을 x 축에 대하여 대칭시킨 후, 이를 앞에서와 마찬가지로 그래프의 합성법으로 위로 x 만큼 올려 주는 방식인데요, 아래 애니메이션에서 보듯이 파란색 포물선이 직선 y = x 와 만나는 교점은 그대로이며 아래로 볼록임을 생각하면 직선 y = x 의 아래 쪽에 빨간색 부분이 놓이는 점이 다릅니다.
그렇다면,
함수 h(x) 의 그래프는 처음 5개 구간에서는 함수 g(x) 와 같으므로 빨간색 곡선 조각이 직선 y = x 의 위쪽에 놓일 것이며, 그 다음 k - 5 개 구간에서는 함수 2x - g(x) 의 그래프와 같으므로 직선 y = x 의 아래쪽에 놓일 것입니다. 그 다음부터는 항상 위쪽에 놓이게 되겠구요...
아래 그림에서 직선 y = x 의 위쪽과 아래쪽에 있는 빨간색 곡선이 함수 h(x) 의 그래프의 모습입니다.
다음, 함수 h(x) 의 정적분에 대하여
구간 [0, n]에서 빨간색 곡선 h(x) 와 x 축, 직선 x = n 으로 둘러싸인 영역의 넓이가 수열 { an }입니다. 위 그림에서 빨간색으로 둘러싸여 있는 전체 넓이입니다.
원점과 점 (n, 0), (n, n) 을 세 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형의 넓이에서, 직선 y = x 위쪽에 있는 활꼴(?) 모양의 넓이는 모두 더해 주고 아래쪽에 있는 k - 5 개의 활꼴(?) 모양의 넓이는 빼주면 되겠습니다.
0 ≤ x <5 or x ≥ k 범위에서 빨간색 곡선 h(x) 와 직선 y = x 로 둘러싸인 활꼴 모양의 넓이는 h(x) - x 의 정적분과 같고, 5 ≤ x < k 범위에서 빨간색 곡선 h(x) 와 직선 y = x 로 둘러싸인 활꼴 모양의 넓이는 x - h(x) 의 정적분과 같습니다.
그런데, 아래에서 보듯이 활꼴 모양의 넓이 또는 그 총합은 위쪽에 있든 아래쪽에 있든 g(x) - x 의 정적분과 같습니다.
한편,
구간 [n, n+1]에서 활꼴 모양의 넓이는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
n = 0 일 때 구간 [0, 1]에서 활꼴의 넓이는 1/12,
n = 1 일 때 구간 [1, 2]에서 활꼴의 넓이는 1/24,
n = 2 일 때 구간 [2, 3]에서 활꼴의 넓이는 1/48,
…
로써,
항상 앞 단계 넓이의 절반을 차지합니다.
여기서 사용된 공식은 x 절편이 α, β (α < β) 인 포물선이 x 축과 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 때 우리가 자주 사용하는 공식인데요,,, 이 공식은 포물선과 임의의 직선이 만날 때도 마찬가지로 적용할 수 있습니다.
이 부분에 대해서는 아래 팁을 참조하시기를.
이 공식에 따르면, 위 애니메이션에서 구간 [n, n+1]에서 보라색 포물선과 x 축으로 둘러 싸인 영역의 넓이는 파란색 포물선과 직선 y = x 로 둘러싸인 영역의 넓이와 같게 되겠습니다.
위에서 파란색으로 표시한 함수식 g(x) 에서 우변 x 를 좌변으로 이항하면 좌변은 g(x) - x 이고, 우변에 남은 식이 보라색 포물선에 해당하는 식임을 통해서도 알 수 있지요...
 | TIP | 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식 |
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아래에서 점 P, Q는 포물선과 직선과 직선이 만나는 두 교점입니다. 
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마무리하겠습니다.
위 식의 우변,,, 세 항을 각각 등비수열의 합의 공식으로 계산하여 정리하면
이상에서, 문제의 극한식은 아래와 같이 되고,
만족하는 k 값은 9가 되는군요.
다른 풀이입니다.
이번에는 그래프를 그리지 않고 단순히 식을 변형, 조작하는 방식으로 밀고 나가 보겠습니다.
수열 { an } 즉, 구간 [0, n]에서 함수 h(x) 의 정적분을 위와 같이 변형하면 이제 함수 h(x) 는 잊어 버려도 되겠습니다.
구간 [5, k]에서 함수 g(x) 의 정적분을 한 번 더하고 한 번 빼주는 조작을 하였습니다.
먼저, 위 보라색 부분의 정적분...
아래와 같이 n 개 구간의 정적분의 합이 되겠구요...
여기서 구간 [i, i+1] 의 정적분을 아래와 같이 치환적분으로 해결합니다. 그래프를 평행이동했다고 생각해도 되겠습니다.
구간 [0, 1]에서 정적분 값을 계산해서 털어 낸 후 정리하는 방향으로...
이 부분의 정적분 값이 이렇게 단순화된다는 점을 강조하기 위해서 주황색으로 특별히 표시하였습니다.
이 문제의 아킬레스 건도 사실은 함수 g(x) 를 구간별로 정의하고 있다는 점과 f(x) 가 아니라 f(x-n) 에 관한 식으로 되어 있는 점인데,, 이것이 문제를 꼬이게 만들고 있었는데요,,,
이 식에 대한 정적분이 이렇게 가볍게 정리되고 있음이 미리 예상되지 않으니...ㅠㅠㅠ
어쨌든 이상에서,
보라색 부분의 정적분은 아래와 같이 등비수열의 합으로 계산할 수 있게 됩니다.
다음, 위 파란색 부분의 정적분...
함수 g(x) 에서 x 를 먼저 뺐으므로 훨 단순하지요.... 위 계산의 중간 결과를 이용해서 정리하면,,,
이상,,,
정리하여 수열 { an } 을 얻고, 목표식의 극한을 계산하면,
다 되었네요...
만족하는 k 값은 앞에서와 마찬가지로 9.
훨씬 쉬운 풀이입니다.
구간 [5, k]에서 함수 g(x) 의 정적분을 한 번 더하고 한 번 빼주는 식 조작을 통하여 함수 h(x) 를 먼저 털어 버렸고,,,
그 다음,
위 주황색으로 강조해 놓았듯이 구간 [n, n+1] 의 정적분을 치환적분 또는 평행이동 개념으로 가볍게 정리해 낸 것이 주효했습니다.
또 다른 풀이입니다. - 세 번째 풀이
위와 같이 세 부분으로 나누어서 각각을 정적분해 보겠습니다.
먼저, 보라색 부분의 정적분...
함수 f(x-n) - (x-n) 은 함수 f(x) - x 를 오른쪽으로 n 만큼 평행이동한 모습인데요,
함수 f(x-n) - (x-n) 을 일단은 p(x-n) 로 두고 보라색 정적분을 정리해 보면,
에서,
구간 [0, 5]에서의 정적분은 아래와 같이 다섯 개 구간의 정적분의 합인데, 평행이동을 생각하여 간단히 할 수 있지요...
※ 위 식 표현에서 함수 g(x) 가 사실은 구간 크기가 1인 구간별로 정의 되어 있기 때문에, 이를 구간 [0, 5]에서 한꺼번에 정적분으로 표현하는 것은 잘못입니다. n 의 값을 구간 크기가 1인 정적분 구간에서 아래끝과 같은 상수 값으로 이해해 주시면 좋겠습니다.
등비수열의 합과 구간 [0, 1]에서 함수 p(x) 의 정적분을 계산하면
이고,
구간 [0, 5]에서 x 의 정적분이 25/2이므로
다음, 파란색 부분의 정적분...
위에서 언급했듯이,,,
n 의 값은 고정이 아니라 구간 크기가 1인 정적분의 합으로 나타내었을 때 아래끝과 같은 상수 값이지요...
마찬가지 방식으로 구간별 정적분의 합을 계산하면,
이고,
구간 [5, k]에서 x 의 정적분은 (k^2 - 25) / 2 이므로
다음, 초록색 부분의 정적분...
세 부분을 모두 더해 보죠...
좌변의 합이 수열 { an }이고요... x 를 정적분한 부분은 결국 구간 [0, n] 전체의 정적분 값인 n^2 / 2 이 되겠고요...
이를 이항해서 정리하면,
목표식의 극한이 241/768이지요... k 값을 계산하면,
마지막으로 또 다른 풀이 하나 더...
EBS의 풀이를 가공하여 다시 정리한 것입니다.
함수 h(x) 식의 양변에 x 를 빼면,
이고,
구간 [0, n]에서 양변을 정적분하면,
인데,
좌변의 정적분과 목표식의 극한이 아래와 같음을 생각하면,
일차적으로 함수 g(x) - x 에 대한 위 보라색, 파란색, 초록색 정적분 값을 구해야 겠습니다.
함수 g(x) 가 구간 [n, n+1] (n = 0, 1, 2, …) 별로 정의되어 있습니다. 이로부터 g(x) - x 가
이므로,
구간 [n, n+1] (n = 0, 1, 2, …) 의 정적분 식은 아래와 같습니다.
여기서, 두번째 풀이에서 언급한 치환적분이나 평행이동 개념을 적용해주면 위 식은 아래와 같이 간단히 되지요...
다시 적어 보면,
이 빨간색 식으로 위 보라색, 파란색, 초록색 정적분 값을 계산하고 대입해주는 방식입니다.
따라서
이 극한값이 241/768이었지요... k 값을 계산하면
이상입니다.
이상의 풀이에서 그래프를 이용한 풀이는 너무 어렵고요...
이를 제외한 세 풀이에서 핵심 아이디어는 평행이동과 치환적분을 이용해서 복잡한 적분식을 간단하게 바꾼 부분입니다.
본문에서 처음에 주황색으로 표시하였다가 나중에는 아예 빨간색으로 바꾸어서 표시해 두었습니다.
마치 공식처럼요... 어느 부분인지 아시겠죠?
