2018년 3월 교육청 가형 30번 [부팡]

우선 f(x)의 그래프를 먼저 그려보자.

구간 알아서 자르자. gsp는 오랜만에 만져봐서 어찌하는지 잘 모르겠음. 여튼 이제 g(x)가 뭔지 생각하자.
g(x)값은 x가 고정되어있고 t가 움직이면서 적분하는 값이다. 즉, y=g(x)라는 직선을 그었을 때, 위 그래프와 이 직선 사이의 영역의 넓이이다.(물론 0부터x까지만)
f(x)가 x=1에서 삐죽 튀어나와있으니, 이 점을 기준으로 쪼개서 생각하자.

첫번째, 0<x=<1인 경우

색칠이 잘 안되긴 했지만 저 부분이다. 이 경우 g(x)값을 구해보자.

넓이를 구하기 위해 저 사각형에서 그래프 아래부분을 빼서 넓이를 구했다.

이제 1<x<2인 경우를 보자.

마찬가지로 사각형에서 아랫부분을 뺀 다음, 남은 부분이 대칭이니까 한쪽만 구하고 2배를 해주자.

문제에서는 극댓값과 극솟값의 차를 구하라고 했다. x=1일 때의 값이랑 각 구간에서의 극값을 보자.
x=1이면 g(x)=-2e+2e+1=1 이 값이 극대가 되는지는 천천히 생각해보자.
0과1사이에서는 고려할 필요가 없다. 계속 넓이가 증가하니까 극값이 없을거다.
1과2사이에서 미분하면 (3x-4)e^2-x가 된다. 이 값은 x가 4/3이 되기 전까지 음수이다. 즉 x=1에서부터 감소한다. 따라서 x=1에서 극댓값을 가지므로 극댓값은 1이다.
또한 x=4/3에서 극솟값을 가질것이다. 이 때 값은
-3e^2/3+2e+1

즉 극댓값과 극솟값의 차는 3e^2/3-2e가 된다. 즉 (ab)²=(-6)²=36

부팡 블로그의 허락을 받아 올린 해설입니다.