2019년도 수능 가형 30번 [진산서당]

2018년 11월 15일 목요일 치른 

2019학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

오답률 1위 95%

◑ 풀이 및 해설입니다. ◐

전체적인 풀이 방향을 잡아 내기가 호락하지 않은데요....

일단은 조건 (가)를 먼저 적용해 봅시다.

g(0) = 2/5 이고, g'(0) = 0 입니다.

아래와 같이 삼차함수 f(x) 가 많이 홀가분해짐을 알 수 있습니다.

계속하여 조건 (나)를 적용하겠습니다.

g'(α) = 0 이 되는, 정확히는 g(x) 가 극대 또는 극소가 되는 0이상의 α 를 크기 순서대로 체크해 보아야 겠습니다.

위 보라색 식에서 f '(α) = 0 이거나 cosf(α) = 0 일 때, g'(α) = 0 이 되겠는데,,,

① f '(α) = 0 ⇒  g'(α) = 0



에서

b = 0 인 경우는 f '(x) = 18πx² ⇒ f ''(0) = 0, g''(0) = 0 이 되므로 α = 0 에서 극대 또는 극소가 될 수 없지요.

따라서 b = 0 이어서는 안되고요...

b > 0 인 경우는 g'(α) = 0 이 되는 α 가 음수일 때이므로 -b / 9π 는 문제의 조건을 만족하는 α 가 될 수 없으며,

b < 0 인 경우는 0과 -b / 9π 두 개가 문제의 조건을 만족하고 있습니다.

② cosf(α) = 0 ⇒  g'(α) = 0

에서

만족하는 α 를 삼차함수 f(x) 의 그래프를 가지고 찾아 보아야 겠는데,,, α 는 삼차함수의 그래프와 직선 y = nπ + π/2 의 교점의 x 좌표이므로 무수히 많을 것입니다.

다음,

조건 (나)의 등식을 간단히 해보면



인데,

f(α5) 와 f(α2) 둘 중 적어도 하나는 위 ②번 경우이죠...

b > 0 인 경우는 둘 모두 위 ②번 경우가 되는데, 이때 조건 (나)가 성립하는 지를 먼저 확인해 보겠습니다.

오른쪽 위로 올라가는 삼차함수 f(x) 가 x = 0 에서 극소이고 x > 0 에서 증가하고 있으므로 f(α) 들은 모두 극솟값 π/6 보다 큽니다.

따라서

이고,

아래에서 보듯이 조건 (나)의 등식이 성립하지 않습니다.

아래 애니메이션도 함께 참조하십시오.

아래 애니메이션은 삼차함수 f(x) 의 그래프를 가지고 g'(α) = 0 이 되는 α 를 크기 순서대로 찾고 있습니다.

b < 0 인 경우

x = 0 에서 극댓값 π/6 을 가지며, x = -b / 9π 에서 극소입니다. 구간 (0, -b / 9π) 에서 감소이고, 구간 ( -b / 9π, ∞) 에서 증가.

그리고, 극솟값이 - π/2 보다 클 때는 빨간색 네모상자에 적어 놓았듯이 α2 = -b / 9π 이고 f(α5) = 5π/2 가 되고 있고,

극솟값이 - π/2 이하일 때는 보라색 화살표 부분에서 보듯이 f(α2) = -π/2 가 되고 있습니다.

이 두 경우별로 나누어서 조건 (나)의 등식이 성립하는지를 b > 0 인 경우에서와 마찬가지로 확인해 보아야 겠습니다.

① b < 0 이고 극솟값이 - π/2 보다 클 때

α2 = -b / 9π 이고 f(α5) = 5π/2 일 때이죠.

f(α2) 를 삼차식에 직접 대입해서 계산하는 것을 보류하고, 조건 (나)의 등식으로 위 보라색 결론을 이끌어 봅니다.

극솟값 f(α2) 는 분명히 극댓값 π/6 보다는 작아야 하며 - π/2 보다는 커야 겠는데, 위 보라색에 의하여 이 범위 안에서는 없음을 알 수 있습니다.

따라서

α2 는 -b / 9π 가 될 수 없으며,  f(α2) = - π/2 가 되는 경우 즉, 극솟값이 - π/2 이하인 경우를 살펴 보아야 겠습니다.

② b < 0 이고 극솟값이 - π/2 이하일 때

위 애니메이션에서 보라색 화살표 부분에서와 같은 경우입니다.

그런데, f(α5) 의 값이 아래의 경우라면

sinf(α5) = 1 or -1 ≠ -1/2 이므로,

결국 f(α5) 는 함수 f(x) 의 극솟값일 때가 됩니다.

따라서

그리고

f(α5) 가 극솟값이면 크기 순서에 의하여

가 되므로,

이 극솟값은 - 7π/2 이상 - 5π/2 미만의 값이어야 합니다.

따라서

이제, 대입해서 b 를 결정할 차례...

마무리하면 끝입니다.

이상입니다.

위 보라색 부분...???!!!

아래 애니메이션은 참조용입니다.

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