[2020 나형 모평 9월30번] 2020학년도 나형 평가원 9월 30번

https://tv.kakao.com/v/401998043

[2020 나형 모평 9월30번] 2020학년도 나형 평가원 9월 30번

최고차항의 계수가 $ 1 $인 사차함수 $ f \left ( x \right ) $에 대하여 네 개의 수 $ f \left ( -1 \right ) $, $ f \left ( 0 \right ) $, $ f \left ( 1 \right ) $, $ f \left ( 2 \right ) $가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 $ y=f \left ( x \right ) $위의 점 $ \left ( -1,~f \left ( -1 \right ) \right ) $에서의 접선과 점 $ \left ( 2,~f \left ( 2 \right ) \right ) $에서의 접선이 점 $ \left ( k,~0 \right ) $에서 만난다. $ f \left ( 2k \right ) =20 $일 때, $ f \left ( 4k \right ) $의 값을 구하시오. (단, $ k $는 상수이다.) [$ 4 $점]

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 $ 42 $

문제해설

사차함수 $ f ( x) $에 대하여 네 수 $ f ( -1) $, $ f ( 0) $, $ f ( 1) $, $ f ( 2) $가 이 순서대로 등차수열을 이루면 네 점 $ ( -1,~f ( -1)) $, $ ( 0,~f ( 0)) $, $ ( 1,~f ( 1)) $, $ ( 2,~f ( 2)) $ 은 일직선 위에 존재한다.

$$ \frac {f ( 0)-f ( -1)} {0- ( -1)}  =  \frac {f ( 1)-f ( 0)} {1-0} = \frac {f ( 2)-f ( 1)} {2-1} $$

$ f ( x)- ( ax+b)=x ( x+1) ( x-1) ( x-2) $

$ f \left ( x \right ) $$ =x ( x+1) ( x-1) ( x-2)+ax+b $$ =x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} +2x+ax+b $

$ f ' ( x)=4x ^ {3} -6x ^ {2} -2x+2+a $

점 $ ( -1,~f ( -1)) $에서의 접선의 방정식 $ f ' ( -1)=a-6 $, $ f ( -1)=-a+b $이므로

$ y $$ = ( a-6) ( x+1)-a+b $$ = ( a-6)x+b-6 $ $ \cdots \cdots $ ㉠

점 $ ( 2,~f ( 2)) $에서의 접선의 방정식 $ f ' ( 2)=a+6 $, $ f ( 2)=2a+b $이므로

$ y $$ = ( a+6) ( x-2)+2a+b $$ = ( a+6)x+b-12 $ $ \cdots \cdots $ ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

$ ( a-6)x-6+b $$ = ( a+6)x+b-12 $

$ -12x=-6 $ → $ x= \frac {1} {2} $

따라서 $ k= \frac {1} {2} $

두 접선의 방정식이 점 $ \left ( \frac {1} {2} ,~0 \right ) $을 지나므로 점 $ \left ( \frac {1} {2} ,~0 \right ) $을 접선의 방정식에 대입하면

$ \frac {1} {2} a-9+b=0 $ → $ a+2b=18 $

$ f ( 2k)=f ( 1)=a+b=20 $

연립하면, $ a=22 $, $ b=-2 $이다.

따라서 $ f ( 4k)=f ( 2)=2a+b=44-2=42 $

 

다른풀이

사차함수를 $ f \left ( x \right ) =x ^ {4} +ax ^ {3} +bx ^ {2} +cx+d $ 라 하면

$ f \left ( -1 \right ) =1-a+b-c+d $

$ f \left ( 0 \right ) =d $

$ f \left ( 1 \right ) =1+a+b+c+d $

$ f \left ( 2 \right ) =16+8a+4b+2c+d $

위 네 수가 등차수열을 이루므로

$$ f \left ( 0 \right ) -f \left ( -1 \right ) =f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =f \left ( 2 \right ) -f \left ( 1 \right ) $$

$$ -1+a-b+c=1+a+b+c=15+7a+3b+c $$

연립하면 $ a=-2,~b=-1 $

$ \therefore $ $ f \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} +cx+d $, $ f ' \left ( x \right ) =4x ^ {3} -6x ^ {2} -2x+c $

$ f \left ( -1 \right ) =2-c+d,~f \left ( 2 \right ) =-4+2c+d $

$ f ' \left ( -1 \right ) =c-8,~f ' \left ( 2 \right ) =c+4 $

이므로

$ \left ( -1,~f \left ( -1 \right ) \right ) $에서의 접선의 식과 $ x $절편은

$ y- \left ( 2-c+d \right ) = \left ( c-8 \right ) \left ( x+1 \right ) $

$ y=0 $일 때 $ x= \frac {6-d} {c-8} =k $ $ \cdots \cdots $ ㉠

$ \left ( 2,~f \left ( 2 \right ) \right ) $에서의 접선의 식과 $ x $절편은

$ y- \left ( -4+2c+d \right ) = \left ( c+4 \right ) \left ( x-2 \right ) $,

$ y=0 $일 때 $ x= \frac {12-d} {c+4} =k $ $ \cdots \cdots $ ㉡

㉠ 에서 $ 6-d=ck-8k $ $ \cdots \cdots $ ㉢

㉡ 에서 $ 12-d=ck+4k $ $ \cdots \cdots $ ㉣

㉢$ - $㉣에서 $ -6=-12k,~k= \frac {1} {2} $

㉢에 대입하면 $ c=20-2d $

따라서 사차함수 $ f \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} + \left ( 20-2d \right ) x+d $ 이고

$ f \left ( 2k \right ) =f \left ( 1 \right ) =18-d=20 $에서 $ d=-2 $

$ f \left ( 4k \right ) =f \left ( 2 \right ) =16-16-4+40-3d=36-3 \times \left ( -2 \right ) =42 $