[2018 수능 기출] 2018학년도 수능 나형 29번

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[2018 수능 기출] 2018학년도 수능 나형 29번

 

두 실수 $ a $와 $ k $에 대하여 두 함수 $ f \left ( x \right ) $와 $ g \left ( x \right ) $는

$$ \begin{align} f \left ( x \right ) &= \begin {cases} 0~ & \left ( x \leq a \right )\\ \left ( x-1 \right ) ^ {2} \left ( 2x+1 \right ) ~~ & \left ( x>a \right )\end {cases} ,\\ g \left ( x \right ) &= \begin {cases} 0 & \left ( x \leq k \right )\\12 \left ( x-k \right ) ~~ & \left ( x>k \right )\end {cases} \end{align}$$

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $ f \left ( x \right ) $는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f \left ( x \right ) \geq g \left ( x \right ) $이다.

 

$ k $의 최솟값이 $ \frac {q} {p} $일 때, $ a+p+q $의 값을 구하시오. (단, $ p $와 $ q $는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

 

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정답 32

[출제의도] 미분가능성을 이해하고 있으며 미분을 이용하여 부등식에 관련된 문제를 해결할 수 있는가?

힘수 $ f ( x) $는 $ x<a $, $ x>a $일 때, 다항함수이므로 이 범위에서 미분가능하다.

한편, 조건 (가)에서 함수 $ f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 미분가능해야 하므로 함수 $ f ( x) $는 $ x=a $에서 미분가능해야 한다. 즉,

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} = \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } } $$이어야 한다.

이때,

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} = \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {0-0} {x-a} } =0} ~\cdots \cdots (\ast)$$

또, $$ \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } = \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x-a} } $$

여기서 $ x \rightarrow a+ $일 때 (분모)$ \rightarrow 0 $이고, 극한값이 존재해야 하므로 (분자)$ \rightarrow 0 $에서

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)=0} ,$$

$$ ( a-1) ^ {2} ( 2a+1)=0 $$

$\therefore~ a=- \frac {1} {2} $ 또는 $ a=1 $

(ⅰ) $ a=- \frac {1} {2} $일 때,

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } &= \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {1} {2} +} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x- \left ( - \frac {1} {2} \right )} } \\& = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {1} {2} +} {2 ( x-1) ^ {2} } \\&= \frac {9} {2} \end{align}$$

이 값은 ($\ast$) 의 값과 다르므로 $ a=- \frac {1} {2} $일 때 함수 $ f ( x) $는 미분가능하지 않다.

(ⅱ) $ a=1 $일 때,

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } & = \lim\limits _ {x \rightarrow 1+} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x-1} } \\&= \lim\limits _ {x \rightarrow 1+} { ( x-1) ( 2x+1)} \\&=0 \end{align}$$

이 값은 ($\ast$)의 값과 같으므로 $ a=1 $일 때 함수 $ f ( x) $는 미분가능하다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 $ a=1 $이다.

한편, 조건 (나)에서 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f ( x) \geq g ( x) $이어야하므로 함수 $ y=f ( x) $의 그래프는 함수 $ y=g ( x) $의 그래프보다 위쪽에 있거나 접해야 한다.

$ x>1 $일 때, 함수 $ f ( x)= ( x-1) ^ {2} ( 2x+1) $와 접하고 기울기가 $ 12 $인 접선의 접점을 $ \left ( m,~f ( m) \right ) $ ($ m>1 $)라 하자.

$$ \begin{align}f ' \left ( x \right ) & = \left\{ ( x-1) ^ {2} \right\} ' ( 2x+1)+ ( x-1) ^ {2} ( 2x+1) ' \\&=2 ( x-1) ( 2x+1)+2 ( x-1) ^ {2} = ( x-1) \left\{ ( 4x+2)+ ( 2x-2) \right\} \\& =6x ( x-1) \end{align}$$

이때, 접선의 기울기가 $ 12 $이므로

$ 6m ( m-1)=12 $, $ m ^ {2} -m-2=0 $ , $ ( m+1) ( m-2)=0 $

$ \therefore~m=-1 $ 또는 $ m=2 $

이때, $ m>1 $이므로 $ m=2 $

그러므로 접선의 방정식은

$$ y-5=12 ( x-2) ,~y=12x-19 $$

$$ y=12 \left ( x- \frac {19} {12} \right ) $$

따라서 $ k \geq \frac {19} {12} $이므로 $ k $의 최솟값은 $ \frac {19} {12} $이다.

그러므로 $ a+p+q=1+12+19=32 $