2019년 가형 10월 29번 [킬러문항]

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2019년 가형 10월 29번

 

좌표공간의 세 점 $ \rm A \left ( -1,~0,~6 \right ) $, $ \rm B \left ( 2,~- \sqrt {3} ,~0 \right ) $, $ \rm C \left ( 3,~0,~0 \right ) $에 대하여 두 점 $ \rm P $, $ \rm Q $가

$$ \left | \overrightarrow {\mathrm{ AP}} \right | =2 ,~~\rm \left | \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} \right | =2 \sqrt {3} ,~~ \rm \overrightarrow {\mathrm{ BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} =6 $$

을 만족시킨다. $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right | $의 최댓값을 구하시오. [4점]

 

 

 

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[출제의도] 공간벡터의 성분과 내적을 이용하여 벡터의 크기에 대한 문제를 해결한다.

점 $ \mathrm{ P} $는 점 $ \mathrm{ A }$가 중심이고 반지름의 길이가 $ 2 $인 구 위의 임의의 점이므로

$$ \left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{PA}} + \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right | \leq \left | \overrightarrow { \mathrm{PA}} \right | + \left | \overrightarrow { \mathrm{AQ}} \right | =2+ \left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ} } \right | $$

따라서 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right | $가 최대일 때 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{PQ}} \right | $도 최대가 되므로 $ \overrightarrow {\mathrm{PA}} $와 $ \overrightarrow {\mathrm{AQ}} $는 평행하다.

점 Q의 좌표를 $ \left ( x,~y,~z \right ) $라 하면 원점 $ \mathrm{ O }$에 대하여

$$ \overrightarrow {\mathrm{BC}} = \overrightarrow {\mathrm{OC}} - \overrightarrow {\mathrm{OB}} = \left ( 1, ~\sqrt {3} ,~0 \right ) $$

$ \overrightarrow {\mathrm{CQ}} = \overrightarrow {\mathrm{OQ}} - \overrightarrow {\mathrm{OC}} = \left ( x-3,y,z \right ) $이므로

$$ \left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | ^ {2} = \left ( x-3 \right ) ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =12 $$

$$ \overrightarrow {\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{CQ}}   = \left ( 1, ~\sqrt {3} ,~0 \right ) \cdot \left ( x-3,~y,~z \right ) = \left ( x-3 \right ) + \sqrt {3} y+0=6 $$

따라서 점 $ \mathrm{ Q} $는 구 $ \left ( x-3 \right ) ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =12 $와 평면 $ x+ \sqrt {3} y-9=0 $이 만나서 생기는 원 위의 점이다. 이 원을 $ C $, 원 $ C $의 중심을 $ \mathrm{ D }$라 하자.

두 벡터 $ \overrightarrow {\mathrm{BC}} $, $ \overrightarrow { \mathrm{CQ}} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta $라 하면 $ \overrightarrow {\mathrm{ BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} = \left | \overrightarrow {\mathrm{BC}} \right | \left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | \cos \theta $에서

$$ 6=2 \times 2 \sqrt {3} \times \cos \theta $$

이므로 $ \cos \theta = \frac {\sqrt {3} } {2} $이고 $ \theta = \frac {\pi } {6} $이다.

$ \overrightarrow {\mathrm{CD}} $는 평면 $ x+ \sqrt {3} y-9=0 $의 법선벡터 $ \overrightarrow {\mathrm{ BC}} $와 평행하고 $ \left | \overrightarrow { \mathrm{CD}} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | \cos \theta =2 \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} =3 $이므로

$$ \overrightarrow {\mathrm{CD}} = \frac {3} {2} \overrightarrow {\mathrm{BC}} = \left ( \frac {3} {2} , ~\frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~0 \right ) ,~~~\overrightarrow {\mathrm{OD}} = \overrightarrow {\mathrm{OC}} + \overrightarrow {\mathrm{CD}} = \left ( \frac {9} {2} ,~ \frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~0 \right ) $$

점 $ \mathrm{A }$에서 평면 $ x+ \sqrt {3} y-9=0 $에 내린 수선의 발을 $ \mathrm{ H }$라 하면 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | = \frac {\left | -1+0-9 \right |} {\sqrt {1+3} } =5 $이고, $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ}} \right | ^ {2} = \left | \overrightarrow {\mathrm{ AH} } \right | ^ {2} + \left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ} } \right | ^ {2} =25+ \left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ} } \right | ^ {2} $이므로 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ}} \right | $가 최대일 때 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right | $도 최대가 된다.

$ \left | \overrightarrow {\mathrm{HQ}} \right | $가 최대인 경우는 직선 $ \mathrm{ HQ }$가 원 $ C $의 중심 $ \mathrm{ D} $를 지날 때이고 이때 점 $ \mathrm{ Q} $의 위치를 $ \mathrm{ Q ' } $이라 하면

$$ \left | \overrightarrow {\mathrm{HQ ' }} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{HD}} \right | + \left | \overrightarrow {\mathrm{DQ ' } } \right | $$

$ \overrightarrow {\mathrm{AD}} = \left ( \frac {11} {2} , ~\frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~-6 \right ) $에서

$$ \left| \overrightarrow {\mathrm{HD}} \right| = \sqrt {\left | \overrightarrow {\mathrm{AD}} \right | ^ {2} - \left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | ^ {2} } = \sqrt {73-25} =4 \sqrt {3}  $$

이고, $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ DQ ' } } \right | $은 원 $ C $의 반지름의 길이 $ \sqrt {3} $과 같으므로

$$ \left | \overrightarrow { \mathrm{HQ ' }} \right | = \left | \overrightarrow { \mathrm{HD}} \right | + \left | \overrightarrow { \mathrm{DQ '} } \right | =4 \sqrt {3} + \sqrt {3} =5 \sqrt {3} $$

$$ \left | \overrightarrow {\mathrm{AQ ' }} \right | ^ {2} = \left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | ^ {2} + \left | \overrightarrow {\mathrm{HQ '} } \right | ^ {2} =25+75=100 $$

따라서 $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ}} \right | $의 최댓값은 $ 10 $이고, $ \left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right | $의 최댓값은 $ 12 $이다.