[더플러스수학]2020학년도 수능 가형 21번[킬러문항]

실수 $t$에 대하여 $y=e^x$ 위의 점 $(t,~e^t )$에서의 접선의 방정식을 $y=f(x)$라 할 때, 함수 $y=|f(x)+k-\ln x |$가 양의 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 $g(t)$라 하자.
두 실수 $a,~b$에 대하여 $\int_{a}^{b} g(t)dt=m$이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [$4$점]

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ㄱ. $m<0$이 되도록 하는 두 실수 $a,~b~(a<b)$가 존재한다.
ㄴ. 실수 $c$에 대하여 $g(c)=0$이면 $g(-c)=0$이다.
ㄷ. $a=\alpha,~b=\beta~(\alpha<\beta)$일 때 $m$의 값이 최소이면 $\frac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)}<-e^2$이다.

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① ㄱ               ② ㄴ                ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

https://tv.kakao.com/v/403829784

 

 

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정답  5번

먼저 $ x=t $에서의 접선을 구하면

$$ f ( x)=e ^ {t} ( x-t)+e ^ {t} $$

$ y= \left | f ( x)+k-\ln x \right | $가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하면서 $ k $값이 최소가 되는 경우는, 접선 $ y=f ( x) $를 $ y $축으로 $ k $만큼 평행이동한 직선이 $ y=\ln x $에 접할 때이다. 즉

$$ y=e ^ {t} ( x-t)+e ^ {t} +k ~ \cdots \cdots ~(\mathrm{i})$$ 가 $ y=\ln x $에 접하는 접선이므로

$$ ( \ln x) ' =e ^ {t} ,~ \frac {1} {x} =e ^ {t} $$

$ \therefore $ $ x=e ^ {-t} $

따라서 접점의 좌표는 $ ( e ^ {-t} ,~-t) $

이것을 ($\mathrm{i}$)에 대입하면

$$ -t=e ^ {t} ( e ^ {-t} -t)+e ^ {t} +k $$

$ \therefore $ $ k= ( t-1)e ^ {t} - ( 1+t) $

$ \therefore $ $ g ( t)= \left ( t-1 \right ) e ^ {t} - \left ( 1+t \right ) $

이제 $ y=g ( t) $의 그래프를 그리자.

$$ g ' ( t)=e ^ {t} + ( t-1)e ^ {t} -1=te ^ {t} -1 $$

$$ g '' ( t)=e ^ {t} +te ^ {t} = ( 1+t)e ^ {t} =0 $$

$ t=-1 $에서 $ g ' ( t) $는 극솟값을 갖는다. 또, $ g ' ( -1)=-e ^ {-1} -1<0 $

따라서 $ y=g ' ( t) $의 개형은 다음과 같다.

한편 $ \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } {g ( t)= \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } { ( te ^ {t} -1)= \infty } } $ 이고

$$\begin{align} \lim\limits _ {t \rightarrow - \infty } {g ( t)} &= \lim\limits _ {t \rightarrow - \infty } { ( te ^ {t} -1)} \\&= \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } { ( -xe ^ {-x} -1)=-1} \end{align}$$

따라서 $ te ^ {t} -1=0 $인 양의 실근이 하나 존재하므로, 이를 $ p $라 하자. 그러면 $ y=g ( t) $는 $ t=p $에서 극솟값이자 최솟값을 갖는다.

$$ g ( p)= ( p-1)e ^ {p} - ( 1+p)=pe ^ {p} -e ^ {p} -1-p=-e ^ {p} -1<0 $$

또한 $$ \lim\limits _ {t \rightarrow \infty }  g ( t)=  \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } {e ^ {t} ( t-1)- ( t+1)= \infty } $$

$$\begin{align} \lim\limits _ {t \rightarrow - \infty } g ( t) &= \lim\limits _ {t \rightarrow - \infty }  e ^ {t} ( t-1)- ( t+1) \\&= \lim\limits _ {x \rightarrow \infty }   \frac {-x-1} {e ^ {x} } - ( -x+1) \\&= \infty   \end{align} $$

따라서 증감표는 다음과 같다.

한편 $ g ( 0)=-2<0 $이므로 방정식 $ g ( t)=0 $는 양의 실근 하나와 음의 실근 하나를 가진다. 이를 각각 $ q,~r $ ($ q<0<r $)이라 두자. 또, $ g ( 1)=-2<0 $이므로 $ r>1 $이다.

이를 종합하여 $ y=g ( t) $의 개형을 그리면 다음과 같다.

ㄱ. $ y=g ( t) $는 서로 다른 두 실근을 가지고, $ g ( t)<0 $인 구간이 존재하므로 $ \int _ {a} ^ {b} {g ( t)dt<0} $을 만족하는 순서쌍 $ ( a,~b) $가 존재한다.$ ( q \leq a<b \leq r) $ (참)

ㄴ. $ g ( c)=0 $이라 하면 $$ e ^ {c} ( c-1)- ( c+1)=0 $$

$$ \begin{align} g ( -c) &=e ^ {-c} ( -c-1)- ( -c+1) \\& =e ^ {-c} \left\{ - ( c+1)+ ( c-1)e ^ {c} \right\} \\&=e^{-c} g ( c)=0 \end{align} $$

$ \therefore ~g ( -c)=0 $ (참)

ㄷ. 그림에서 $ \alpha =p $, $ \beta =q $일 때 $ m= \int _ {\alpha } ^ {\beta } {g ( t)dt} $가 최소가 된다. 또, $ g ( \alpha )=0 $이므로 ㄴ에 의해 $ g ( - \alpha )=0 $이다. $ g ( t)=0 $의 근이 두 개밖에 없으므로 $ \beta =- \alpha $이다.

$ g ' ( t)=te ^ {t} -1 $에서 $ g ' ( \alpha )+1= \alpha e ^ {\alpha } ,~ g ' ( \beta )+1= \beta e ^ {\beta } $이므로

$$\begin{align} \frac {1+g ' ( \beta )} {1+g ' ( \alpha )} = \frac {\beta e ^ {\beta } } {\alpha e ^ {\alpha } } = \frac {\beta e ^ {\beta } } {- \beta e ^ {- \beta } } =-2e ^ {2 \beta } ~ \cdots \cdots ~(\mathrm{ii})\end{align}$$

$ g ( 1)=-2<0 $이므로 $ \beta >1 $이다. 따라서 $ e ^ {2 \beta } >e ^ {2} $

$(\mathrm{ii})$에서 $ -2e ^ {2 \beta } <-2e ^ {2} $ (참)