[평가원기출]2021학년도 9월 평가원 가형 21번-킬러문항[더플러스수학]

 

닫힌구간 $\displaystyle [-2 \pi ,~2 \pi ] $에서 정의된 두 함수

$$\displaystyle f ( x)=\sin kx+2 ,~ g ( x)=3\cos 12x $$

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k $의 개수는? [$\displaystyle 4 $점]

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실수 $\displaystyle a $가 두 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $, $\displaystyle y=g ( x) $의 교점의 $\displaystyle y $좌표이면 $$\displaystyle \left\{ \,x\,|\,f ( x)=a\, \right\} \subset \left\{ \,x\,|\, g ( x)=a\, \right\} $$이다.

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① $\displaystyle 3 $

② $\displaystyle 4 $

③ $\displaystyle 5 $

④ $\displaystyle 6 $

⑤ $\displaystyle 7 $

 

문제와 풀이 전부를 보시려면 다음 링크를.....https://plusthemath.tistory.com/395

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정답 및 풀이

자연수 $\displaystyle k $에 대하여 $\displaystyle f ( x) $의 주기는 $\displaystyle \frac {2 \pi } {k} $, $\displaystyle g ( x) $의 주기는 $\displaystyle \frac {2 \pi } {12} = \frac {\pi } {6} $이다.

만약 $\displaystyle k=12 $일 때 그림을 그려보면

위의 그림에서 보듯이 점 $\displaystyle \mathrm { A} $와 다른 점 $\displaystyle \mathrm { B }$가 $\displaystyle f $와 $\displaystyle y=a $의 교점이 더 생기므로

$$\displaystyle \left\{ \,x \,|\,f ( x)=a \,\right\} \,\not\subset \,\left\{ \,x \, |\,g ( x)=a\, \right\} $$

마찬가지로 $\displaystyle k>12 $일 때도 $\displaystyle g $의 한 주기인 $\displaystyle \frac {\pi } {6} $에서 $\displaystyle g ( x)=a $를 만족하지 않지만 $\displaystyle f ( x)=a $를 만족하는 $\displaystyle x $가 존재하므로 안 된다.

$\displaystyle k=6 $일 때를 그려보면

$\displaystyle y=a $와 $\displaystyle y=f ( x) $가 만나는 점은 모두 $\displaystyle y=a $와 $\displaystyle y=g ( x) $와 만나는 점이 되므로 $\displaystyle k=6 $은 주어진 조건을 만족한다. 즉 $\displaystyle f ( x)=a $를 만족하는 근이 $\displaystyle \alpha $라 하면 $\displaystyle \frac {\pi } {6} - \alpha $도 근이므로 $\displaystyle g ( \alpha )=g \left ( \frac {\pi } {6} - \alpha \right ) $를 만족해야 한다. 그런데 $\displaystyle 3\cos 12 \left ( \frac {\pi } {6} - \alpha \right ) =3\cos \left ( 2 \pi -12 \alpha \right ) =3\cos 12 \alpha $이므로 $\displaystyle \alpha \in \left\{ \,x\,|\,g ( x)=a \,\right\} $

마찬가지로 하면 $\displaystyle k=3 $, $\displaystyle k=2 $, $\displaystyle k=1 $이면 된다.

이를 정리하면 자연수 $\displaystyle k $에 대하여 함수 $\displaystyle f ( x) $의 주기가 $\displaystyle \frac {2 \pi } {k} $이므로 $\displaystyle f ( x)=a $의 근을 $\displaystyle \alpha $라 하면 $\displaystyle f ( x)=a $의 다른 한 근은 $\displaystyle \frac {\pi } {k} - \alpha $도 근이다. 따라서 조건 $\displaystyle \left\{\,x\,|\,f ( x)=a \,\right\} \subset \left\{\, x\,|\,g ( x)=a \,\right\} $을 만족하려면 $\displaystyle x= \alpha ,~ \frac {\pi } {k} - \alpha $도 $\displaystyle g ( x)=a $의 근이어야 한다. 즉

$$\displaystyle g ( \alpha )=g \left ( \frac {\pi } {k} - \alpha \right ) ,~ 3\cos 12 \alpha =3\cos 12 \left ( \frac {\pi } {k} - \alpha \right ) $$

$$\displaystyle 3\cos 12 \alpha =3\cos \left ( \frac {12 \pi } {k} -12 \alpha \right ) $$

$$\displaystyle \therefore ~ \frac {12 \pi } {k} =2n \pi  ~( ~n 은 ~정수)$$

$$\displaystyle \therefore ~ 6=kn $$

따라서 $\displaystyle k $는 $\displaystyle 6 $의 약수이므로 $\displaystyle 1,~2,~3,~6 $인 $\displaystyle 4 $가지이다.