시공의 무등비 놀라운 풀이(초항도, 공비도 필요없다!)

해설을 시작하기에 앞서 이 문제를 잠깐 봐주세요.

옛날 EBS 교재에 실려 있는 문젠데, 무한등비급수에 대한 이해가 제대로 되어 있다면 어처구니없이 간단한 문제입니다. 전체 사각형에서 An들의 합을 뺀 나머지 부분의 극한값이 0으로 수렴하므로 급수의 값은 전체 사각형의 넓이와 같게 되는 것이죠.

그런데 이 논리가 놀랍게도 제가 올렸던 시공의 무등비 문제에 그대로 적용됩니다. 

문제를 다시 보실까요?

R1과 R2를 주목해서 잘 보시면 처음 정육각형과 안에 그려지는 새로운 정육각형 사이에 흰색 삼각형 6개와 회색 삼각형 6개가 생기고 이것이 반복되는 구조임을 알 수 있습니다.

앞서 본 문제의 원리에 의해, 구하려는 값인 회색 삼각형들의 넓이 합의 급수를 S, 흰색 삼각형들의 넓이의 합의 급수를 T, 한 변의 길이가 √3인 정육각형의 넓이를 U라 하면, S+T=U가 성립함을 알 수 있습니다.

그런데 아래와 같이 아주 간단하게 흰색 삼각형과 회색 삼각형의 넓이가 같음을 보일 수 있고, 따라서 T=S이므로 S=U/2=9√3/4임을 공비나 초항을 구하지도 않고 알 수 있게 됩니다.

처음에 그냥 답을 구했을 때 값이 너무 깔끔하게 떨어져서 그냥 괜찮은 문제다 하고만 넘어갔는데, 잘 관찰해 보니 무한등비급수의 성질을 활용해 재밌게 풀 수 있는 신기한 문제임을 알 수 있었습니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.