6평변형 무등비 해설

(문제입니다) 참고로 정답은 301/75, 즉 376이었습니다.

수능을 앞두고 조금이나마 도움이 되고자 간단 해설을 올려보고자 합니다. 공비는 구하기 쉬우므로 초항에 대해서만 해설하겠습니다.

이 문제에서 초항을 구하는 방법은, 크게 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

1단계) 초항을 포함하는, 점 G, H, I, J, K,를 꼭지점으로 하는 둔각삼각형 중 하나를 택하고, 그 넓이를 구한다(예컨대 삼각형 GB₁D₁)

2단계) 1단계에서 택한 삼각형에서 초항인 오각형을 제외한 나머지 두 삼각형의 넓이를 뺀다(예컨대 삼각형 GB₁D₁에서 삼각형 HB₁I, KJD₁의 넓이를 뺌)

고로 1단계에서 고를 수 있는 다섯 개의 삼각형에 대해 각각 풀이가 존재하므로 최소 5가지 방법으로 초항을 구할 수 있고, 당연히 어느 경우로도 같은 값이 나와야 할 것입니다. 그리고 위 그림에서와 같이 모든 길이의 비를 구할 필요는 없지만 자신이 고른 경우에 필요한 길이비는 어쨌든 구해야 하는데, 이는 아주 강력한 보조선을 하나만 그리면 해결할 수 있습니다.

바로 위 그림과 같이 선분 FJ를 그리면 됩니다. AF:FB₁=D₁J:JB₁=ED₁:B₁C₁=1:2므로 선분 FJ는 선분 A₁D₁, B₁C₁과 평행합니다. 또 놓쳐서는 안 될 중요한 성질은 선분 FJ와 선분 EB₁의 교점을 L이라 하면 FL=LJ가 성립하는 것입니다. 그러면 길이비를 구하고 싶은 두 선분을 포함해 엇각을 이루는 두 삼각형을 항상 찾을 수 있고(예컨대 EK:KJ를 구하고 싶으면 삼각형 KED₁과 KJF를 관찰하면 됨) 연립을 하면 세 선분의 길이의 비(예컨대 EK:KJ:JC₁)도 구할 수 있습니다.

실제로 그나마 가장 까다로운 편인 EG:GH:HB₁ 하나만 구해보겠습니다. 먼저 삼각형 GED₁과 삼각형 GLF에서 

EG:GL=ED₁:FL=3:2이고, 삼각형 HLF와 삼각형 HB₁C₁에서 

LH:HB₁=FL:B1C₁=1:3입니다. 또 

EL:LB₁=AF:FB₁=1:2므로, 이상을 연립하면 

EG:GL:LH:HB₁=6:4:5:15가 되고, 따라서 

EG:GH:HB₁=6:9:15=2:3:5가 됩니다. 나머지도 동일한 방법으로 하면 앞서 그림과 같이 모든 길이 비를 구할 수 있습니다.

이제 1단계에서 삼각형 GB₁D₁을 잡았다 하고 초항을 한 번 구해보면, 

EG:GB₁=2:(3+5)=1:4므로 삼각형 GB₁D₁의 넓이는 

(1/2)×3×6×(4/1+4)=36/5입니다. 한편 

HI:FC₁=3:(5+3+12)=3:20이므로 삼각형 HIB₁의 넓이는 

(1/2)×4×6×(3/20)=9/5이고, 

KJ:EC₁=4:(3+4+14)=4:21이므로 삼각형 D₁KJ의 넓이는 

(1/2)×3×6×(4/21)=12/7입니다. 따라서 오각형 GHIJK의 넓이는 

(36/5)-(9/5)-(12/7)=(27/5)-(12/7)=(27×7-12×5)/35=129/35입니다. 다른 방법으로 구해도 동일한 값이 나오는지를 확인해 보시면 좋은 연습이 될 겁니다.