f는 x값이 0일 때를 경계로 식이 달라지는 형태를 가지고 있습니다. 따라서 이 함수를 x축 방향으로 평행이동한 f(x-a), f(x-b), f(x-2)는 각각 a, b, 2를 경계로 식이 달라질 것이고 h(x)는 이들 모두 (0, a, b, 2)를 기준으로 범위를 나누어 정리하면 되겠습니다.
(|x-1|+|x-2| 같은 식을 1보다 작을 때, 1이상 2미만, 2이상"의 세 범위로 나누어 푸는 것을 떠올리면 됩니다.)
범위에 따라 h(x)를 구해보면 다음과 같습니다.

그리고, 이를 그래프로 나타내 보겠습니다.

문제에서는 h가 0 이상, g 이하라고 했기 때문에 x>2일 때 위의 그래프 처럼 떠 있으면 안되고, 0이 되어야 합니다. 즉, a+b-2=0임을 알 수 있고, 그래프는 아래와 같은 형태가 됩니다.

이제 마지막 남은 조건을 살펴봅시다. g(x)-h(x)를 0에서 2까지 정적분 했을 때, 최소가 되도록 하는 것입니다. g(x)를 0에서 2까지 정적분한 값은 상수(계산을 굳이 한다면 4/3)이므로, h(x)를 0~2까지 정적분한 값(즉, 위의 등변사다리꼴의 넓이)가 최대가 되도록 하는 것을 의미합니다.

h(x)가 g(x)를 넘지 않으면서 넓이를 최대로 하려면, (a,ka), (b,ka)는 g(x) 위의 점이어야 할 것입니다.

이제 남은 것은 저 등변사다리꼴의 넓이가 최대가 되도록 했을 때의 k 값입니다. 높이를 ka 대신에 a(2-a)로 두고, 넓이를 최대로 하는 a값을 구한 후, 그에 알맞은 k를 구하는 순서대로 풀면 됩니다.

등변사다리꼴의 넓이는 a에 따라 변하므로, S(a)라고 합시다.

이를 극대, 극소를 찾기 위해 미분해보면,

ka=a(2-a) 이므로, a=2/3을 대입해보면 이때의 k값은 k=2-a=4/3이 됩니다.

따라서, 60(k+a+b)=60(4/3 + 2)=200

수학의 정도(正道) - 대홍쌤 블로그의 허락을 받아 올리는 해설입니다.