2016년 7월 교육청 가형 30번 [진산서당]

오늘 게시글은 

2016년 7월 6일 수요일 시행, 

인천교육청이 주관한 고3 전국연합학력평가 수학 가형 30번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

조건 (나)에 있는 곡선은 아래 애니메이션에서 보듯이 중심이 원점이고 반지름이 √2인 원의 일부입니다. 이 검은색 원호의 양 끝점을 A, B라 하면 점 A, B의 좌표는 각각 (-1, 1), (1, 1)이지요.

원호 AB와 만나면서 x 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ 인 평행한 두 직선 l, m 을 잡을 때, 두 직선 사이의 거리가 최대가 되는 경우가 아래 애니메이션에서 움직이고 있는 파란색 두 직선입니다.

점 A를 지나는 원의 접선이 x 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기인 π/4 를 기준으로, θ ≥ π/4 인 경우는 두 점 A, B를 지나는 평행한 직선 사이의 거리가 최대가 되고 있고, θ < π/4 인 경우는 한 직선은 B를 지나고 다른 한 직선은 원호 AB의 접선일 때 최대가 되고 있습니다. 즉, θ ≥ π/4 인 경우는 빨간색 선분 AH의 길이가 θ < π/4 인 경우는 빨간색 선분 TH의 길이가 문제의 조건을 만족하는 두 평행선 사이의 거리의 최댓값이 됩니다.

두 경우별로 이 최댓값 f(θ) 를 구해 보겠습니다.

i) θ ≥ π/4 인 경우

점 A에서 직선 BP에 내린 수선의 발이  점 H입니다. 빨간색 직각삼각형 ABH를 살피면 수선 AH의 길이가 2sinθ 임을 곧바로 알 수 있고요,,,

ii) θ < π/4 인 경우

이때는 원점 O에서 직선 BP에 내린 수선의 발이 점 H인데, 반지름의 길이 OT에서 이 수선 OH의 길이를 빼는 방식으로 선분 TH의 길이를 구할 수 있습니다. 회색으로 칠한 직각삼각형 PBB'를 살피면 수선 OH의 길이를 얻을 수 있구요...

좌표를 이용하여 직선의 방정식을 얻어서 점과 직선 사이의 거리 공식으로 두 직선 사이의 거리를 구할 수도 있겠는데요,,, 웬만하면 도형 관계로 재빨리 찍어 내는 실력이 있음 좋겠습니다.

가령,

직선 BP의 방정식은 기울기가 tanθ 이고 점 B(1, 1)를 지나므로,

접점 T를 지나는 원의 접선이 x 축과 만나는 점을 C라 하면 직각삼각형 OCT에서 빗변 OT의 길이가 √2secθ 이고, 회색 삼각형의 밑변 PB'의 길이가 cotθ 이므로,

이상에서,,,

정적분해서 마무리하겠습니다.

(오답률 2위 85.0%)

이상입니다.

진산서당 블로그의 허락을 받아 올리는 해설입니다.