2018년도 수능 수리영역 나형 29번 [부팡]

29번. 무난해보인다.
(가)조건으로 a를 바로 알아낼 수 있을지도 모른다.
f(x)는 x가 a이하일때 항상 0이므로 기울기가 0이고, 전체에서 미분가능하므로 a는 바로 (x-a)^2(2x+1)의 기울기가 0이 되는 점임을 알 수 있다.
바로 미분해보면
f'(x)=2(x-1)(2x+1)+2(x-1)^2=2(x-1)(3x)=6x(x-1) 따라서 a=0 또는 a=1이다.
여기서 짜증날뻔했지만, f가 미분가능하므로 연속인걸 생각해보면, f(a)=0이다. 고로 a=1
f의 개형을 그리고 생각하면 편하지만, 그림을 못그리겠으므로 그냥 글로 쭉 써보자. gsp는 어디로 사라진걸까..사기싫다.
f(x)의 개형은 대략 ____/이런 모양이다.
g(x)는 계속 0이다가 k에서부터 기울기가 12인 직선이다. (나)조건에 의해, 당연히 k는 1보다는 클거고...g(x)는 f(x)의 x가 1보다 큰 부분에서 접하는 직선의 방정식일 것이다. 계산의 편의를 위해, g(x)=12(x-k)=12x+h라고 두자. 로마자쓰고싶지만 귀찮다.
즉 (x-1)^2(2x+1)=12x+h가 중근을 갖는다.(1보다 큰 곳에서)
h만 남기고 다 이항시키고 전개해보자. 아 h=-12k임을 기억해두자.
(x^2-2x+1)(2x+1)-12x=2x^3 -3x^2 -12x +1=h
좌변을 미분해보면 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)=6(x-2)(x+1)
즉 x=2또는 x=-1에서 극값이다.
극값을 각각 계산해보면 16-12-24+1=-19, -2-3+12+1=8
이게 -12k다. 그런데 k는 1보다 커야되니까, k=19/12이다.
즉 a+p+q=1+19+12=32

부팡 블로그의 허락을 받아 올리는 해설입니다.