2018년도 수능 수리영역 가형 30번 [진산서당]

계속하여,

2018학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

29번 문제는 게시글 [수능 29번] 2018학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설을 참조하십시오.

오답률 99%.

작년 30번도 마찬가지였지만, 이 문제는 이보다도 더 어렵다는 느낌입니다. 무엇보다도 함수 g(t) 의 그래프에 대하여 감(感)이 잡히지 않습니다. 어떤 홀수 k  와 적분변수 x 가 함수 g(t) 의 변수 t 와 난마처럼 뒤얽혀서 풀이 방향은 커녕 문제의 뜻조차 종잡기 어려운 문제이다 싶어요...

아래 애니메이션은 지오지브라의 도움을 받아서 함수 g(t) 가 무엇을 말하는지를 이해하기 위해서 제작한 것입니다.

함수 f(x) 의 그래프는 t-1 ≤ x ≤ t+1 범위에서는 파란색 꺾은 선이고 그밖의 x 에 대해서는 f(x) = 0 입니다.

그리고 보라색 부분이 피적분 함수인 y = f(x)cos(πx) 의 그래프인데, t-1 ≤ x ≤ t+1 범위를 제외하고는 f(x) = 0 이므로 양쪽 보라색 반직선이 되겠지만, t-1 ≤ x ≤ t+1 범위의 보라색 곡선은 지오지브라의 도움을 받아서 그렸으니 그 그래프의 모양이 보이지만 실전에서는 절대로 그렇지가 못하지요...

그렇더라도 실전에서는 많은 학생들이 함수 y = f(x) 의 그래프와 y = cos(πx) 의 그래프를 가지고 y = f(x)cos(πx) 의 그래프를 그려 보려고 시도하였을 것입니다. 그렇지만, 문제는 t 값에 따라 y = f(x) 의 그래프가 주기 2인 cos(πx) 의 그래프와 겹쳐지는 부분이 달라지기 때문에 그래프를 그리는데 대부분의 학생들이 실패했을 것입니다. 더군다나 이를 정적분해야 하고, 적분 구간 [k, k+8]의 어떤 두 홀수와는 또 어떻게 엮어야 하는지에 쫓기게 되겠고요...

그나마 다행히도 구간 [t-1, t+1]의 크기와 cos(πx) 의 주기가 2로 같고, 정수 t 에 대하여 y = f(x)cos(πx) 의 그래프가 대칭임을 생각하면, 몇 개의 t 값을 찍어서 구간 [t-1, t+1]에서 곡선의 증감, 부호 관계가 어떻게 되는지를 조사하여 이 그래프의 개형을 추정할 수는 있을 것입니다.

아래 애니메이션을 통해서 알 수 있듯이,

또 위 피적분함수의 그래프에 대한 약간의 추정을 바탕으로, k < t-1 < t < t+1 < k+8 범위에서 t 가 홀수일 때 보라색 곡선이 가장 아래로 내려 가면서 이때 빨간색으로 표시한 정적분 값이 최소가 될 것이고, t 가 짝수일 때 보라색 곡선이 가장 위로 올라 가면서 이때 빨간색 정적분 값이 최대가 된다고 생각할 수 있습니다.

실전에서 몇 가지 t 에 대하여 구간 [t-1, t+1]에서 그래프의 꼴을 조사하여 이 결과를 도출하였다면 성공입니다.

가령,

t = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 일 때의 y = f(x)cos(πx) 의 그래프를 그려 보는 것이지요... 구간 [t-1, t+1]에서 곡선의 모양이 나올 것이고, 이로부터 구간 [t-1, t+1]에서 이 다섯 개의 정적분 값의 대소 관계가 어떻게 되는지를 가늠할 수 있을 것이며, 나아가 주기 2로 반복된다고 생각하면, 함수 g(t) 의 그래프의 모양이 어느 정도 잡히는 것이지요...

이제, 함수 g(t) 가 무엇을 말하고 있는지를 알게 되었고, 함수 g(t) 는 t 가 홀수일 때 극소이고 t 가 짝수일 때 극대인 그래프이겠구나라는 결론에 이르게 됩니다.

어느 정도의 확신을 가지고...

이상의 직관을 가지고 풀이를 완성해 보겠습니다.

그전에,

k < t-1 < t < t+1 < k+8 범위에서는, 함수 g(t) 는 t 가 홀수일 때 극소이고 t 가 짝수일 때 극대라고 직관하였지만, 그밖의 t 의 범위에 대해서 먼저 짚어 주어야 겠습니다.

t+1 < k 인 경우는 적분 구간 [k, k+8]에서 피적분 함수 f(x)cos(πx) 의 함숫값이 항상 0이므로 이때 g(t) = 0 이고요...

t < k < t+1 인 경우에 적분 구간 [k, t+1]에서 적분값이 음수이고 또 점차 작아지고 있으며,

t-1 < k < t 인 경우는 불확실하지만 점차 커지다가 t = k+1 에서 극대가 되는 것은 명백합니다.

이상에서 t = k 일 때 극소라고 어느 정도는 가정할 수 있지 싶고요...

t < k+8 < t+1 인 경우는 적분 구간 [t-1, k+8]에서 양수 부분은 점차 줄어 들고 음수 부분은 점차 늘어나고 있고,

t-1 < k+8 < t 에서는 양수 부분, 음수 부분 모두 점차 줄어 들고 있으므로 마찬가지로 t = k+8 에서 극소이지 않나 생각됩니다.

t-1 > k+8 인 경우는 t+1 < k 인 경우와 마찬가지로 이때 g(t) = 0 이고요...

불확실하네요...

이상에서,

함수 g(t) 는 t = k+2, k+4, k+6 에서 명백히 극소이며, t = k 또는 t = k+8 에서도 극소이지 않겠느냐고 생각한다면,

에 해당하는 α 값들은 k, k+2, k+4, k+6, k+8 로 다섯 개, m = 5 가 될 것이며 이때의 홀수 k 값도 아래와 같이 5 가 됩니다.

여기서, t = k-2, k-4, … 또는 t = k+10, k+12, … 인 경우는 적분 구간 [k, k+8]에서 피적분함수가 항상 0이기 때문에 g(t) = 0 이 되어 문제의 조건을 만족하는 α 값들이 될 수 없으므로 당연히 고려 대상에서 제외하였습니다.

참고로 위 불확실성에 대하여,,,

아래와 같이 m = 4 인 경우는 불가능하며, m = 3, k = 11 인 경우가 답이 될 수도...

이상으로 문제의 뜻이 제대로 이해되었다 싶구요...

m = 5, k = 5 인 경우에 대해서 정답을 계산해 보겠습니다.

아래 그림은 t = k+2, k = -1 인 경우입니다.

문제의 조건을 만족하는 α 값들의 총합이 45가 되는 k 는 5이지만, 홀수 k 의 실제 값과 상관없이 함수 g(t) 의 그래프가 달라지지 않으므로 계산 편의를 위해 k = -1 인 경우에 대하여 그래프와 적분값을 살펴 보겠습니다.

t = k+4, k+6 의 경우도 이와 마찬가지입니다.

따라서 g(k+2) = g(k+4) = g(k+6) = g(1)

t = 1 인 경우 y = f(x) 와 cos(πx) 가 x = 1 에 대하여 대칭이므로

다음 그림은 t = k, k = -1 인 경우와 t = k+8, k = -7 인 경우입니다.

대칭성에 의하여, 정적분 값 즉 g(t) 는 t = k+2, k+4, k+6 인 경우의 절반이 되겠군요...

이상에서,

참고로, m = 3, k = 11 인 경우의 답을 계산해 보면,

헉!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 어찌 이런 일이...

우연의 일치인지 오답률을 관리하기 위한 심오한 배려(?)인지,,, 정말로 대단하다 싶습니다. 

올바른 풀이에 대하여 계속하여 살펴 보겠지만,

직관 내지는 많은 부분을 찍어서 푼 이상의 풀이에 대해서도 평가원은 상당히 높이 평가하지 않느냐고 생각해 봅니다. 실제로 이 문제의 모범 답안을 찾는다거나 만족할만한 확실한 근거를 가지고 이 문제의 정답을 찾기 위해서는 30분을 가지고는 어림도 없을 것으로 보고 있습니다. 그렇지만 평가하고자 하는 여러 요소와 수험생의 실력을 제대로 가늠, 변별하기 위한 수능(대학 수학능력시험) 본연의 목적에 비추어 보면 가히 최고 난이도의 문제로서 크게 손색은 없을 듯합니다.

어차피 수리 논술이나 심층 면접 형태의 시험이 아니고 단답형으로 정답을 쓰기만 하면 되는 수능 답안 작성 방식임을 감안하면 말입니다.

이제, 위에서 언급한 불확실성에 대하여 살펴 보도록 하겠습니다.

함수 g(t) 는 적분 변수 x 의 구간 [k, k+8]에서 정적분으로 정의된 t 에 관한 함수이고, 구간 [t-1, t+1]에서 피적분함수 y = f(x)cos(πx) 의 그래프가 적분 구간 [k, k+8]에 포함되어 있는 부분만의 정적분 값을 가리킵니다.

함수 cos(πx) 의 그래프는 실수 t  의 값과 상관없이 고정이지만, 함수 f(x) 의 그래프가 t 의 값에 따라 달라지므로 피적분함수 y = f(x)cos(πx) 의 그래프를 그리는 것이 난망이었지요...

그나마 k < t-1 < t < t+1 < k+8 범위에서는 피적분함수 y = f(x)cos(πx) 의 그래프가 적분 구간 [k, k+8]에 완전히 포함되어 있고, 앞에서처럼 피적분함수의 그래프를 어느 정도 추정할 수 있으므로 아래 함수 g(t) 는 t 가 홀수일 때 즉, t = k+2, k+4, k+6 에서 극소이고 t = k+1, k+3, k+5, k+7 에서 극대임을 짐작할 수 있었지만,

구간 [t-1, t+1]에서 피적분함수 y = f(x)cos(πx) 의 그래프의 일부만이 적분 구간 [k, k+8]에 포함되어 있을 때는 함수 g(t) 의 증감관계를 추정하는 것조차 불확실한 구석이 있었지요...

이에,

t 값이 가지는 각 경우별로 실제로 피적분함수를 정적분 계산하여 함수 g(t) 식을 구해 보도록 하겠습니다.

그리고 이 함수식을 다시 t 에 관하여 미분한다든가 해서 t = k, t = k+8 등에서 문제의 조건을 만족하는 α 값이 될 수 있는지를 살펴야 겠습니다. 

먼저, t < k < t+1 (k-1 < t < k) 인 경우는 의미가 있는 적분 구간인 [k, t+1]에서 x > t 이므로 x - t > 0, f(x) = 1 + t - x 에서 함수 g(t) 식은 아래와 같이 변형됩니다.

실제로 정적분 계산하면,

다음, t-1 < k < t (k < t < k+1) 인 경우는 의미가 있는 적분 구간인 [k, t+1]을 소구간 k ≤ x ≤ t, t ≤ x ≤ t+1 로 나누어서 절댓값을 풀어 주면 함수 g(t) 식은 아래와 같이 변형됩니다.

실제로 정적분 계산하면,

이상의 두 경우에 대하여 함수 g(t) 를 미분해 보면,

i) 의 경우 sinπt 는 주기 2, k 홀수 이므로 이 구간에서 sinπt > 0 따라서 g'(t) < 0 이고,

ii) 의 경우 sinπt 는 주기 2, k 홀수 이므로 이 구간에서 sinπt < 0 따라서 g'(t) > 0 이므로,

또, 정수 k 에 대하여 sinπk = 0 이므로 k-1 < t < k+1 범위에서 g'(k) = 0,,, 연속인 함수 g(t) 는 t = k 에서 극소이며, 극솟값 g(k) 가 아래와 같이 음수이므로 t = k 는 명백히 문제의 조건을 만족하는 α 값이 될 수 있음을 알 수 있습니다.

마찬가지 방식으로 t = k+8 이 문제의 조건을 만족하는 α 값이 될 수 있는지를 살펴 보겠습니다. 대칭성을 생각하면 굳이 따져 보지 않아도 될 듯하지만,,,

먼저, t < k+8 < t+1 (k+7 < t < k+8) 인 경우

다음, t-1 < k+8 < t (k+8 < t < k+9) 인 경우

f(x) 의 절댓값을 경우별로 나누어서 이를 부분적분하는 방식을 지금까지와는 다르게 아래와 같이 한꺼번에 헤치워 봤네요...

이제 함수 g(t) 의 식이 완성되었습니다.

모든 정수 t 에 대해서 미분계수는 0이고, 주기가 2인 사인 함수의 그래프를 생각하면, g'(t) 는 짝수~홀수 사이에서는 부호가 음수이고 홀수~짝수 사이에서는 부호가 양수이므로 t 가 홀수일 때는 극소이고 t 가 짝수일 때는 극대가 됩니다. 그리고 극솟값은 항상 음수인 - 4 / π^2 이고, 극댓값은 항상 양수인 4 / π^2 이 됩니다. 그리고 t = k+3/2, k+5/2, …, k+13/2 에서 함숫값은 0이고, 접선의 기울기는 최대가 되거나 최소가 되겠구요...

따라서 k+1 < t < k+7 범위에서 조건 α 값을 만족하는 t 들은 k+2, k+4, k+6 이렇게 세 홀수 뿐이게 됩니다.

마지막으로 덧붙입니다.

아래 애니메이션에서 빨간색 곡선(직선 구간 포함)이 모든 실수 t 에 대하여 정의된 함수인 y = g(t) 의 그래프입니다.

임의의 홀수 k 에 대하여 항상 성립하는 그림이지요...

진산서당 블로그 (http://mathseodang.com/) 허락하에 올리는 해설입니다.