2018년도 6월 평가원 나형 21번 [진산서당]

[21번 문제의 풀이 및 해설]

점근선이 x = 11, y = 6 인 유리함수의 그래프입니다. 중심이 (11, 6)인 직각쌍곡선이지요.

아래 애니메이션에서 파란색 곡선이고, 자연수 k 의 값이 36에서 시작하여 점차 커질수록 파란색 곡선은 중심 (11, 6)에서 점차 멀어집니다.

문제의 부등식을 만족하는 점 (x, y) 가 놓인 영역은 직선의 아래쪽이고 곡선의 위쪽이므로 회색 영역이고(경계포함), 이 영역에 속할 수 있는 점들 중에서 x, y 가 모두 자연수인 점은 제1사분면에 있는 10개의 점입니다. 주황색으로 표시하였습니다.

|f(x)| 에 의하여 x 축 아래쪽에서 꺾여 올라온 곡선이 보라색입니다. x 절편 한 곳에서만 꺾이게 되는데, y = 0 일 때의 x 좌푯값이므로 계산하면,

제1사분면에 있는 10개의 주황색 점 중에서 2개~4개 만이 파란색, 보라색 곡선의 위쪽, 검은색 직선의 아래쪽에 놓이게 될 때(경계 포함)의 자연수 k 값은 얼마일까요? 이를 만족하는 자연수 k 는 모두 몇 개일까요?

지오지브라로 그림을 그렸으니 답은 빤한데요,,, 빨간색 점 4개 중에서 2개 이상이 포함될 때의 k 값을 계산하면 되지요...

실전에서는 파란색, 보라색 두 곡선이 이들 10개의 주황색 점을 통과할 때의 k 값을 따져야 할 것입니다.

k ≥ 36 의 의미...

파란색 곡선 식에 k = 36 을 대입한 후 이 때의 x 절편을 계산해 보면 5가 됩니다.

따라서 k = 36 일 때 x 절편 5에서 꺾이고, 이후 k 가 6씩 증가할 때마다 꺾이는 점의 x 절편은 4, 3, 2, … 등으로 감소하게 되지요. 원점에서 꺾일 때의 k 값은 66이로군요...

처음에 (5, 0)에서 꺾인 싯점의 k 값 근처에서 파란색 곡선이 (4, 1), (2, 2)를 통과할 때의 k 값을 계산해보면,

위 파란색 식에 대입하는 것이 좋겠지요?

(4, 1)을 통과할 때의 k = 35, (2, 2)를 통과할 때의 k = 36 이면, 36이상의 자연수 k 에 대하여 이 두 주황색 점은 항상 파란색 곡선의 위쪽에 놓입니다(경계포함). 이때 보라색 곡선은 한참이나 오른쪽에 있으므로 직선 위의 네 점과 (2, 2), (1, 3)이 파란색 곡선 위쪽이므로 문제의 조건을 만족하는 주황색 점은 6개 이상이 됩니다.

이제 k 값이 점점 커지면 보라색 곡선 위에 있는 점들의 개수는 점차 줄어 들게 되는데요...

위 애니메이션에 있는 주황색 식으로 보라색 곡선이 (2, 2), (1, 1)을 통과할 때의 k 값을 계산해 보면 각각 k = 72, k = 70 일 때입니다.

그렇다면 k = 73 이 될 때, 빨간색 네 점만이 회색 영역 안에 놓인 자연수 점이므로, k = 73 은 처음으로 문제의 조건을 만족하는 k 값이 됩니다.

이후, 보라색 곡선이 빨간색 점 (1, 3)을 통과할 때가 k = 90 으로 이때까지가 회색 영역 안에 놓인 자연수 점이 두 개 이상이고, k = 91 이 되는 순간부터는 빨간색 점의 수가 두 개 미만이 됩니다...

이상에서,,,

문제의 부등식을 만족하는 자연수점 (x, y) 가 2개 이상 4개 이하일 때의 자연수 k 값은 73이상 90이하입니다.

따라서 이 자연수의 개수는 18개가 되고, 정답은 오지선다형 ①번.

(오답률 2위 75%)

진산서당 블로그(http://mathseodang.com/) 허락을 받아 올리는 해설입니다.