2018년도 9월 평가원 가형 21번 [진산서당]

수열 { an }과 함수 f(x) 에 대한 감(感)을 먼저 잡아 봐야겠습니다.

n 이 한없이 커지면 이 수열은 2로 수렴합니다. 함수 f(x) 가 아래 보라색 소구간별로 정의되어 있음을 생각하면, 함수 f(x)는 구간 [-1, 2)에서 정의될 수밖에 없겠군요...

함수 f(x)의 중요한 특징이 이제 드러나는 군요...

n = 1, 2, 3, … 등을 대입해 보면 소구간별로 n = 1 일 때를 제외하고, n = 2 일 때부터 보라색 소구간의 길이와 사인 함수의 주기 T가 일치하므로 소구간별로 사인 파형이 한 번씩 그려집니다. n = 1 일 때는 주기 1인 사인 파형이 두 번 그려지고요...

아래는 참조용...

이제,

구간 [-1, 2)에서 정의된 함수 f(x) 의 그래프를 이해하였습니다.

아래 애니메이션에서 진한 검은색, 흐릿한 검은색이 소구간별로 무한 반복되고 있습니다. n = 2 일 때부터 소구간의 길이는 1/2, 1/4, 1/8, …로써 절반씩 줄어 들고 있으며 사인 파형의 주기와 일치합니다. 움직이고 있는 파란색 파형이 이를 보여 주고 있습니다.

다음,,, 

아래 정적분 식을 만족하는 t 값의 개수가 103개가 되게 하는 α 값에 대하여 로그값을 구하는 문제입니다.

t 값의 개수가 103개라...

하나의 사인 파형에 대하여 적분 구간이 이 파형의 주기와 같으면 이 사인 파형의 위쪽과 아래쪽이 넓이가 같으므로 정적분 값은 0입니다.

그리고 아래 팁(TIP)에서 소개하고 있듯이, 사인 파형에서 x 축 위 쪽에 있는 절반만의 넓이(정적분)은 주기에 비례합니다. 위에서 주기가 계속하여 절반씩 줄어 들고 있는데, 그렇다면 x 축 위 쪽 부분의 넓이도 계속하여 절반씩 줄어 들고 있습니다.

자~~~ 그렇다면,

t 값의 개수가 103개가 되게 하는 α 값은 -1/2이나 -1/4보다 작을 수는 없으며 0에 엄청 가까운 값이겠지요...

	TIP	사인 파형의 넓이와 회전체의 부피는 주기에 비례한다...

아래 그림에서 적분 구간 [α, t]에서 함수 f(x) 의 정적분이 0이 되는 t 값을 크기 순서대로 빨간색으로 t1,  t2,  t3,  t4, … t103, t104 로 표시하였습니다. 주황색, 보라색, 파란색으로 표시해 둔 부분의 넓이가 모두 같을 때입니다.

처음에, 적분 구간 [α, t1]에서 주황색 정적분이 0이고요,,,

그 다음, 위 그림에서 초록색으로 표시해 두었듯이 홀수번째 t 값에서 같은 소구간에 속하는 짝수번째 t 값까지의 정적분이 0입니다. 그리고, 파란색 정적분 식으로 표시해 두었듯이 두 소구간에 걸쳐 있는 적분구간 즉, 짝수번째 t 값에서 바로 다음 소구간에 속하는 홀수번째 t 값까지의 정적분이 0입니다. 그렇다면 이들 모든 t 값에 대해서 적분 구간 [α, t]에서 f(x) 의 정적분은 0이 되는 것이지요...

당연히 이것 이외에는 더 없을 것이구요...

이제, t 값의 개수가 103개가 될 때의 자연수 n 값을 구할 차례...

소구간별로 두 개씩 있으므로 103번째 t 값과 104번째 t 값이 속하는 소구간의 n 값을 찾으면 되겠는데,

첫번째 소구간까지 2개, 두번째 소구간까지 4개, 세번째 소구간까지 6개, …, 이런 식이므로 52번째 소구간까지가 104개입니다. n = 52 즉, 소구간 [a52, a53]까지입니다.

이제 정말, 마무리 단계로군요...

이 문제에서 적분 구간 [α, t]에서 f(x) 의 정적분이 0이 되는 t 값의 개수가 103개뿐이라고 하였습니다. 그렇다면, 위 그림에서 103번째 t 값과 104번째 t 값이 이 소구간의 중점에서 일치하는 경우라야 하겠습니다.

따라서 52번째 소구간의 위 쪽 부분의 넓이가 위 그림의 주황색 부분의 넓이와 같게 되므로,

가 성립하고,

정적분하여 정리하면, 아래 보라색 결론에 도달합니다.

이상에서, 이 문제의 답은 아래와 같이 -50이고, 5지선다형 ②번이 되겠습니다.

(오답률 61% 3위)

진산서당 블로그(http://mathseodang.com/) 허락을 받아 올리는 해설입니다.