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기출 해설사전

2019년도 6월 평가원 가형 21번 [진산서당]


 


함수 f(x) 의 그래프, 이로부터 모든 실수 t 에 대하여 정의된 함수 g(t)  그래프를 얻는데까지가 1단계이겠고, 그 다음에 사차함수 h(x) 와 물려 있는 합성함수 ο g 를 살펴 보는 2단계로 나누어서 헤쳐 나가야 겠습니다.


먼저, 함수 f(x) 의 그래프...

f(x)%3D%5Cbegin%7B%20cases%20%7D%7B%202%5Ccombi%20%5E%7B%203%20%7D%7B%20sin%20%7Dx%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%20-%5Cfrac%20%7B%20%5Cpi%20%20%7D%7B%202%20%7D%3Cx%3C%5Cfrac%20%7B%20%5Cpi%20%20%7D%7B%204%20%7D%20%5Cright)%20%20%7D%5C%5C%7B%20cosx%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%20%5Cpi%20%20%7D%7B%204%20%7D%5Cle%20x%3C%5Cfrac%20%7B%203%5Cpi%20%20%7D%7B%202%20%7D%20%5Cright)%20%20%7D%5Cend%7B%20cases%20%7D%20

cos(π/4) = √2/2 = sin(π/4) 이지요. sin(π/4)를 세제곱하면 2√2 / 8 이고 이를 두 배하면 √2/2 로써, 결국 x = π / 4 에서 연속입니다. - π / 2 < x <  π / 4 범위에서 sin가 -1에서 원점 O를 지나 √2/2 까지 증가해 가는 그 모양과 비슷하게 2sin^3(x) 는 -2에서 원점 O를 지나 √2/2 까지 증가해 갑니다. π / 4 < x <  3π / 2 범위에서 cos는 √2/2 → 0 → -1 → 0  인 코사인 파형 그대로이고요...

아래 애니메이션에서 검은색이 열린 구간 (- π/2, π/4) 에서 정의된 함수 y = f(x) 의 그래프입니다.


그 다음, 파란색이 f(x) - t 의 그래프...

함수 f(x) 의 최댓값이 √2/2 이므로 f(x) 에서 √2/2 이상인 값을 빼면 파란색 f(x) - t 의 그래프는 항상 0이하이고, 여기서 절댓값을 취하여 x 축에 대칭되도록 꺾어 올린 것이 보라색 |f(x) - t|의 그래프입니다. 이 정도까지는 그릴 수 있어야 겠고요... 여기서 근호를 취한 것이 주황색 √|f(x) - t|의 그래프인데, 실전에서 이 정도까지 완전하게 그리는 것은 불가능할 뿐만아니라 그럴 필요도 없다 싶고요,,, 개형을 어느 정도만 상상하거나 크리티컬한 부분만 따로 확인해 낼 수 있으면 충분합니다.


아래 애니메이션에서 파란색으로 바뀌고 있는 수식 부분요...

i) 번이 t ≥ √2/2 일 때이고, 열린 구간 (- π/2, π/4) 에 속하는 실수 중에서 주황색 함수가 미분이 불가능한 값은 k = π/4 하나 뿐입니다. 따라서 이 범위의 실수 에 대하여 g(t) = 1 이 되겠습니다.


불필요한 확인일 수도 있겠지만,,,

열린 구간 (- π/2, π/4) 에서 함수 f(x) 의 미분불가능성은 x = π / 4 를 확인하는 것으로 충분합니다.

%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20x%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Cpi%20%20%7D%7B%204%20%7D-%20%7D%20%7D%7B%20f%5Cquad%20


그리고,

열린 구간 (- π/2, π/4) 에서 주황색 함수 √|f(x) - t|가 미분 불가능한 값은 아래에서 보듯이 보라색 함수가 미분 불가능한 점 또는 축과 만나는 점의 값이 되고 있음을 알 수 있습니다.

g(x)%3D%5Cleft%7C%20f(x)-t%20%5Cright%7C%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cleft(%20%5Csqrt%20%7B%20g(x)%20%7D%20%5Cright)%20

참고로,,,

아래 애니메이션에서 파란색 함수 f(x) - t 가 양수일 때는 굳이 보라색으로 칠하지 않고 그대로 파란색으로 두었으며, 축에 대칭이 되어 꺾여 올라온 부분만 보라색으로 표시하였습니다.


다음,,, ii) 0 < t < √2/2 일 때

파란색 함수 f(x) - t 는 x = α 와 x = β 두 곳에서 축과 만나며 α < x < β 구간에서만 f(x) - t 양수입니다. 파란색 함수 f(x) - t 의 음수 부분이 x = α 와 x = β 에서 꺾여서 위로 올라온 부분을 보라색으로 표시했습니다.

x = α,  π/4, β 세 곳에서 미분 불가능이므로 이 범위에서 g(t) = 3


다음,,, iii) -1 < t < 0 일 때

실수 의 값이 i), ii) 를 거쳐 점차 작아 지면 파란색 함수 f(x) - t 의 그래프는 점차 위로 올라가는데, 이 범위에서 파란색 함수 cosx - t 가 축과 만나는 점이 하나 더 늘어납니다. x > γ 간도 축 위로 올라 가는 것임.

x = α,  π/4, β, γ 네 곳에서 미분 불가능이므로 이 범위에서 g(t) = 4


다음,,, iv) -2 < t < -1 일 때

파란색 코사인 파형이 이제 완전히 축 위로 올라 가고 파란색 함수 f(x) - t 가 음수인 구간은 x < α 뿐입니다.

x = α,  π/4 두 곳에서 미분 불가능이므로 이 범위에서 g(t) = 2


다음,,, v) t ≤ -2 일 때

열린 구간 (- π/2, π/4) 에서 파란색 함수 f(x) - t 의 그래프 전체가 축 위로 올라 갔습니다.

x =  π/4 에서만 미분 불가능이므로 이 범위에서 g(t) = 1



위 애니메이션을 보고 있자니 많이 헷갈리는데요,,, 그냥 위에서 나눈 구간별로 파란색과 보라색 그래프를 그려 보면 별거 없습니다.


t = 0, t = -1 일 때를 따져 보지 않았는데요...

이 두 부분이 사실 가장 어렵습니다.

t = 0 이면 파란색이 검은색과 일치할 때입니다. x = π/4 와 x = β(π/2) 에서는 명백히 미분불가능이고 x = γ(3π/2) 는 범위 밖입니다. x = α(0) 만 따져 주면 되겠는데, 위 검은색 그래프에서 x < α(0) 부분인 아랫쪽을 접어 올린다고 했을 때 x = α(0) 에서 미분계수는 그대로 0이지 싶은데, 주황색 그래프의 경우는 그렇지 않아 보이네요...

식으로 확인해 보겠습니다.

g(x)%3D%5Cleft%7C%20f(x)-t%20%5Cright%7C%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cleft(%20%5Csqrt%20%7B%20g(x)%20%7D%20%5Cright)%20

일견 x = α(0) 에서 분모가 0이므로 미분 불가능으로 보이지만 분자의 차수가 높음을 생각하면  α(0) 에서 미분계수가 0임을 알 수 있습니다.

미분계수의 정의로 살펴 보겠습니다.

%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20h%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%200%20%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%202%5Ccombi%20%5E%7B%203%20%7D%7B%20sin%20%7D(0%2Bh)%20%5Cright%7C%20%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%202%5Ccombi%20%5E%7B%203%20%7D%7B%20sin%20%7D0%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%7D%7B%20h%20%7D%20%7D%5C%5C%20%3D%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20h%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%200%20%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Cpm%20sinh%20%7D%7B%20h%20%7D%5Ctimes%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%202sinh%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%7D%3D%5Cpm%201%5Ctimes%200%3D0%20


따라서 t = 0 일 때 x = π/4, β(π/2) 에서만 미분불가능이므로 g(t) = 2


t = -1 이면 β = γ = π 에서 파란색 함수 f(x) - t = cosx - t 가 축에 접할 때인데, 파란색은 당연히 미분계수가 0인데, 주황색 함수는 어떻게 될지???

g(x)%3D%5Cleft%7C%20f(x)-t%20%5Cright%7C%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cleft(%20%5Csqrt%20%7B%20g(x)%20%7D%20%5Cright)%20
흠~~~ 미분불가능입니다.
미분계수의 정의로도 살펴 보지요.
%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20h%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%200%20%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%20cos(%5Cpi%20%2Bh)%2B1%20%5Cright%7C%20%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%20cos%5Cpi%20%2B1%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%7D%7B%20h%20%7D%20%7D%5C%5C%20%3D%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20h%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%200%20%7D%20%7D%7B%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%20%7B%201-cos(h)%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20h%20%7D%20%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%7D%5C%5C%20%3D%5Clim%20_%7B%20%5Ccombi%20%7B%20h%20%7D%5Cto%20%5Ccombi%20%7B%200%20%7D%20%7D%7B%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20sin%20%7Dh%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20h%20%7D(1%2Bcos(h))%20%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%7D%3D%5Cpm%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%20
따라서 t = -1 일 때 x = α, π/4, β(=γ=π) 에서 미분불가능이므로 g(t) = 3

이상에서,,, 모든 실수 에 대하여 정의된 함수 g(t) 는 아래와 같이 됩니다.
%5Ctherefore%20%5Cquad%20g(t)%3D%5Cbegin%7B%20cases%20%7D%7B%201%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%20t%5Cge%20%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%2F2%20%5Cright)%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5C%5C%7B%203%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%200%3Ct%3C%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%2F2%20%5Cright)%20%20%7D%5C%5C%7B%202%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%20t%3D0%20%5Cright)%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5C%5C%7B%204%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20%5Cleft(%20-1%3Ct%3C0%20%5Cright)%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5C%5C%7B%203%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20(t%3D-1)%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5C%5C%7B%202%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20(-2%3Ct%3C-1)%20%7D%5C%5C%7B%201%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%26%7B%20(t%5Cle%20-1)%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5Cend%7B%20cases%20%7D%20

1단계 완성이네요... 굳이 함수 g(t) 의 그래프를 그려 볼 것 까지는 없겠고요...
최고차항의 계수가 1인 사차함수 h(x) 에 대하여, 합성함수 (h ο g)(x) = h(g(x)) 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되자면, 구간 경계에서 g(t) 의 함숫값들이 같아야 합니다. 결국 h(1) = h(3) = h(2) = h(4) 가 성립해야 합니다.

이 함숫값을 라 하면, 최고차항의 계수가 1인 사차함수 h(x) 는 아래와 같이 됩니다.
k%3Dh(1)%3Dh(2)%3Dh(3)%3Dh(4)%5C%5C%20h(1)-k%3Dh(2)-k%3Dh(3)-k%3Dh(4)-k%3D0%5C%5C%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20h(x)-k%3D(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)%5C%5C%20%5Ctherefore%20%5Cquad%20h(x)%3D(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)%2Bk%20

마무리하겠습니다.
%5Cbegin%7B%20cases%20%7D%7B%20g%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%7B%202%20%7D%20%5Cright)%20%3Da%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20a%3D1%20%7D%5C%5C%7B%20g(0)%3Db%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20b%3D2%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5C%5C%7B%20g(-1)%3Dc%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20c%3D3%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5Cend%7B%20cases%20%7D%5C%5C%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20h(a%2B5)-h(b%2B3)%2Bc%3Dh(6)-h(5)%2B3%5C%5C%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%3D5%5Ccdot%204%5Ccdot%203%5Ccdot%202%2Bk-4%5Ccdot%203%5Ccdot%202%5Ccdot%201-k%2B3%5C%5C%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%3D120-24%2B3%3D99%20

정답은 오지선다형 번이 됩니다.
(오답률 77.3% 4위)


이상입니다.


진산서당 블로그(http://mathseodang.com/) 허락을 받아 올리는 해설입니다.

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