2019년도 수능 가형 29번 풀이 [진산서당]

2018년 11월 15일 목요일 치른 

2019학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

오답률 2위 93.6%

◑ 풀이 및 해설입니다. ◐

아래 애니메이션은

변 CA 위의 점 R을 고정시키고, 변 AB, BC 위의 점 P, Q를 움직이면서 관찰한 것입니다.

변 BC 위의 동점 Q에 대하여 벡터 AQ의 절반인 주황색 벡터 AS의 종점 S의 자취는 중점을 연결한 선분 MN이 되고 있으며,

벡터 AP와 AR의 합벡터인 벡터 AE의 1/4인 초록색 벡터 AT의 종점 T의 자취는 초록색 평행사변형 AM'FN'가 됩니다. 점 M', N'는 각각 변 AB, AC를 1:3으로 내분하는 점이 되겠고요...

그렇다면,

주황색 벡터 AS와 초록색 벡터 AT의 합벡터인 빨간색 벡터 AX의 종점 X의 자취는 무엇일까요?

주황색 벡터 AS와 초록색 벡터 AT의 합벡터가 삼각형의 법칙에 의하여 주황색 벡터 AS와 초록색 벡터 SX의 합벡터가 되므로, 초록색 벡터 SX의 주황색 시점 S를 고정시켜 놓고 생각하면 이때의 벡터 AX의 종점 X의 자취는 초록색 평행사변형을 벡터 AS만큼 평행이동시킨 하늘색 평행사변형이 될 것입니다.

그 다음,

초록색 벡터 SX의 주황색 시점 S가 선분 MN 위를 움직이는 동점이라 생각해주면, 하늘색 평행사변형이 그리는 영역은 위 애니메이션에서 흐릿하게 그려 놓은 하늘색 육각형이 되겠는데, 이 육각형이 바로 문제의 점 X의 자취가 됩니다.

마무리하겠습니다.

점 X가 나타내는 영역의 넓이는 이 육각형의 넓이가 되겠는데요...

삼각형 ABC(넓이 9)와 삼각형 AM'N'가 4:1 닮음이므로 삼각형 ABC 안에는 삼각형 AM'N'와 합동인 삼각형이 16개가 들어 있겠고, 이 중에서 하늘색 육각형 안에는 6개를 제외한 10개가 들어 있으므로...

이 육각형의 넓이를 S라 하면,

◈ 다른 풀이입니다. ◈

아래 애니메이션은

변 AB 위의 점 P를 고정시키고, 변 BC, CA 위의 점 Q, R을 움직이면서 관찰한 것입니다.

점 F의 자취가 보라색 평행사변형임을 먼저 확정한 후,

점 F가 이 평행사변형의 네 꼭짓점에 있을 때마다, 동점 Q가 움직임에 따라 주황색 선분 FQ의 중점 X가 어디에 있을 지를 생각하면 빨간색 점 X의 자취는 하늘색 평행사변형의 자취가 되고 있음을 간파할 수 있습니다.

이상입니다.

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