2018년도 수능 수리영역 가형 21번 [진산서당]

2018학년도 대학 수능 수학 가형 고난도 문제의 풀이 및 해설...

계속하여 21번 문항입니다. 

오답률 3위 72.0%

아래 애니메이션에서 검은색 곡선이 y = f(x) 의 그래프입니다.

1 ≤ x < e 일 때는 고정된 그래프 f(x) = lnx 이고, x ≥ e 일 때는 양수 t 의 값이 커짐에 따라 y = lnx 가 아래쪽으로 평행이동한 그래프인 f(x) = -t + lnx 이지요.

일차함수 g(x) 가 (x - e)(g(x) - f(x)) ≥ 0 를 만족하려면,

1 ≤ x < e 인 경우는 x - e < 0 이므로 g(x) - f(x) ≤ 0 즉, g(x) ≤ f(x) 여야 하고,

x ≥ e 인 경우는 x - e ≥ 0 이므로 g(x) - f(x) ≥ 0 즉, g(x) ≥ f(x) 여야 합니다.

따라서

구간 1 ≤ x < e 에서는 직선 y = g(x) 가 직선 AB의 아래쪽으로 지나야 하며,

구간 x ≥ e 에서는 직선 y = g(x) 가 점 C보다 위쪽에 있는 점을 지나면서 기울기가 점 C에서 접선의 기울기보다 크거나 x = p (p > e) 일 때의 접선보다 위쪽을 지나야 합니다.

아래 애니메이션에서 문제의 조건을 만족하는 직선 y = g(x) 가 지나가는 영역들을 회색으로 표시해 보았습니다.

자~~~ 이때,,,

이 조건을 만족하는 직선 y = g(x) 의 여러가지 기울기 중에서 가장 작은 값이 h(t) 입니다. 양수 t 의 값에 따라 기울기의 최솟값 h(t) 가 달라지고 있는데요,,, 이 최소 기울기의 직선을 아래 애니메이션에서 빨간색으로 표시하였습니다.

점 A(1, 0)보다 아래쪽에서 x ≥ e 일 때의 곡선 f(x) = -t +lnx 에 그은 접선의 기울기보다 점 A(1, 0)에서 이 곡선에 그은 접선의 기울기가 더 작으므로, 곡선 위의 점 D(p, f(p))에서 접선의 방정식을 구하여 이 접선이 점 A(1, 0)을 지날 때를 계산해 보면 아래와 같이 되네요...

위 그림에서 직선 AD의 기울기가 1/p 이라 생각해도 마찬가지로 이 관계식을 얻을 수 있습니다.

어쨌든,

위 관계식을 만족하는 접선의 기울기 1/p 이 바로 최소 기울기 h(t) 이므로

그런데,

점 A(1, 0)에서 항상 x ≥ e 일 때의 곡선 f(x) = -t +lnx 에 접선을 그을 수 있는 것은 아닙니다.

p ≥ e 에서 h(t) ≤ 1/e 이고 x = e 에서 접선의 기울기가 1/e 임을 생각하면, 위 빨간색 식에 의하여

이므로

t = 1/e 일 때 점 A에서 곡선 f(x) = -t +lnx 에 그은 접선의 기울기가 h(t) 의 최댓값인 1/e 이 됨을 알 수 있습니다.

따라서 t 가 1/e 보다 작은 양수일 때는 점 A(1, 0)에서 x ≥ e 일 때의 곡선 f(x) = -t +lnx 에 접선을 그을 수 없습니다.

위 애니메이션에서 x ≥ e 일 때의 빨간색 접선 AD의 기울기가 항상 주황색 직선 AE의 기울기보다 작음을 관찰할 수 있는데, 점 D의 x 값 p 가 점점 작아져서 점 D와 점 C가 점 E에서 만나는 순간부터는 최소 기울기의 빨간색 직선은 더이상 접선이 될 수 없고, 직선 AC가 되고 있음을 확인할 수 있습니다.

그러면 t 가 1/e 보다 작은 양수일 때는?

바로 직선 AC의 기울기가 최소 기울기 h(t) 가 되므로

t 가 커짐에 따라 감소하는 일차함수 식이 되네요... 이 최소 기울기 h(t) 의 최대·최소를 살펴 보면,

이상에서, 최소 기울기로 정의된 함수 h(t) 의 구간별 함수식과 최대·최소를 적어 보면 아래와 같습니다.

이제, 목표식의 값을 구하여 마무리할 단계입니다.

함수 h(t) 가 미분가능한 함수라고 하네요... 그렇다 싶습니다. 단조 감소함수이기도 하고요...

t = 1/e 을 기준으로 함수 h(t) 가 두 경우로 나뉘어져 있습니다.

먼저, 1/2e < 1/e 이므로

다음, 1/(e+2) < 1/e 이므로

비교의 기준이 되는 1/e 이 마침 같은 것이어서 헷갈릴 듯해서 설명 덧붙입니다.

1/2e < 1/e 에서 1/2e 과 1/e 은 t 값입니다. t 값 1/e 을 경계로 해서 함수 h(t)의 식이 다르고요,

1/(e+2) < 1/e 에서 1/(e+2) 과 1/e 은 최소 기울기인 h(t) 값입니다. 함숫값 h(t) 역시 1/e 을 경계로 해서 함수 h(t)의 식이 다르지요...

그리고 마지막으로 t = 1/e 에서 미분 가능한지를 살펴 보면,

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